Conjugación de representaciones proyectivas.

Question

Dado caracteres de la Schur cubriendo grupo de $G$ el mismo grado, ¿cómo hace uno para saber si el proyectiva representaciones (como homomorphisms de $G$ a $\operatorname{PGL}$) son conjugadas en $\operatorname{PGL}$?

Por alguna razón pensaba que simplemente se comprueba la igualdad de los personajes, pero este no parece ser el caso de $A_4$ a $\operatorname{PGL}(2,7)$. El (Frobenius) los personajes no son iguales. El primer representante se ha trazado 6 en un elemento de orden 3, y el segundo tiene la traza de 5 sobre ese elemento, sin embargo, las dos representaciones proyectivas son conjugado en $\operatorname{PGL}(2,7)$.

Supongo que los mismos elementos se definen únicamente hasta un escalar múltiples, y por lo que el seguimiento puede ser cambiado por cualquier múltiplo de 2, pero seguramente no todas las representaciones de la misma dimensión se conjugado en general?

Edit: Karpilovsky parece sugerir uno sólo comprueba la igualdad de los personajes, como en el teorema 3.3 en la página 16 del tomo 3 de su Grupo de Representaciones libro. Tal vez teorema 3.5 es suficiente?

Answer 1

Respuesta negativa

Karpilovsky el resultado no es útil aquí. Se trata GL-conjugacy, no PGL-conjugacy.

Nos instalación de dos proyectiva representaciones de $G=A_4$ que tienen la misma definición de cocycle $\alpha$, cuyas $\alpha$-los caracteres son diferentes, pero tales que las representaciones que se conjugan de la proyectiva lineal general del grupo.

Observe que el $\alpha$-los personajes no son funciones de clase, sino que uno puede optar $\alpha$, de modo que $\chi_1$ se convierte en una función de clase.

El ejemplo

$ \newcommand{\ze}{\zeta_3} \newcommand{\zi}{\ze^{-1}} \newcommand{\vp}{\vphantom{\zi}} \newcommand{\m}[1]{\left[\begin{smallmatrix}\vp #1 \vp\end{smallmatrix}\right]} \newcommand{\PGL}{\operatorname{PGL}} $ Deje $R$ ser un anillo conmutativo con identidad y una forma primitiva de 3º de la raíz de la unidad $\ze$.

Definir $\rho_1: A_4 \to \PGL(2,R)$ por $\rho_1((12)(34)) = \m{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ y $\rho_1((123) ) = \m{ \ze & 0 \\ -1 & \zi }$.

Definir $\rho_2: A_4 \to \PGL(2,R)$ por $\rho_2((12)(34)) = \m{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ y $\rho_2((123) ) = \m{ 0 & -\zi \\ 1 & -\ze }$.

Tenga en cuenta que para $x=\left[\begin{smallmatrix}\ze & 1 \\ -1 & \ze \end{smallmatrix}\right]$ obtenemos $$\rho_1((12)(34))^x = \rho_2((12)(34)) \quad\text{and}\quad \rho_1((123))^x = \zi \cdot \rho_2((123))$$ de modo que las representaciones proyectivas son conjugado en $\PGL(2,R)$. Tenga en cuenta que todas las matrices mencionadas hasta ahora se puede invertir más de $R$.

Explícitamente obtenemos los siguientes valores (la elección de los signos define el cocycle; hemos elegido signos de $\rho_1$ $\rho_2$ a dar el mismo cocycle, $\alpha$):

$$\tiny\begin{array}{r|c|ccc|ccccccccc} & () & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) & (123) & (132) & (124) & (142) & (134) & ( 143) & (234) & (243) \\ \hline \rho_1 & \m{ 1 & 0 \\ 0 & 1} & \m{ 0 & -1 \\ 1 & 0} & \m{ -\ze & -\zi \\ -\zi & \ze} & \m{ -\zi & \ze \\ \ze & \zi} & \m{ -\ze & 0 \\ 1 & -\zi} & \m{ -\zi & 0 \\ -1 & -\ze} & \m{ \ze & -1 \\ 0 & \zi} & \m{ \zi & 1 \\ 0 & \ze} & \m{ -1 & \zi \\ -\ze & 0} & \m{ 0 & -\zi \\ \ze & -1} & \m{ -1 & -\ze \\ \zi & 0} & \m{ 0 & \ze \\ -\zi & -1} \\ \rho_2 & \m{ 1 & 0 \\ 0 & 1} & \m{ 0 & -1 \\ 1 & 0} & \m{ \ze & -\zi \\ -\zi & -\ze} & \m{ -\zi & -\ze \\ -\ze & \zi} & \m{ 0 & \zi \\ -1 & \ze} & \m{ \zi & -1 \\ \ze & 0} & \m{ 0 & \ze \\ -1 & -\zi} & \m{ -\ze & -1 \\ \zi & 0} & \m{ 1 & -\ze \\ 0 & \zi} & \m{ 1 & \zi \\ 0 & \ze} & \m{ \ze & 0 \\ -\zi & 1} & \m{ \zi & 0 \\ \ze & 1} \end{array}$$

$\chi_i(g) := \operatorname{tr}(\rho_i(g))$ tiene valores:

$$\scriptsize\begin{array}{r|c|ccc|ccccccccc} & () & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) & (123) & (132) & (124) & (142) & (134) & ( 143) & (234) & (243) \\ \hline \chi_1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \chi_2 & 2 & 0 & 0 & 0 & \ze & \zi & -\zi & -\ze & -\ze & -\zi & -\zi & -\ze \end{array}$$

Tenga en cuenta que estos personajes no son iguales, pero las representaciones de $\rho_i$ son conjugado en $\operatorname{PGL}(2,R)$. Los remontes de estas representaciones a $\operatorname{GL}(2,R)$ son no isomorfos representaciones de $\operatorname{SL}(2,3)$.

Para referencia, $\alpha$ es:

$$\tiny \begin{array}{r|r|rrr|rrrrrrrr} \alpha & () & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) & (123) & (132) & (124) & (142) & (134) & ( 143) & (234) & (243) \\ \hline () & 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ \hline (12)(34) & 1&-1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&-1&1&1\\ (13)(24) & 1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1\\ (14)(23) & 1&-1&1&-1&-1&1&1&1&-1&-1&-1&1\\ \hline (123) & 1&1&1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&1\\ (132) & 1&-1&-1&1&1&-1&1&1&-1&1&1&1\\ (124) & 1&1&-1&-1&-1&1&1&1&-1&1&-1&-1\\ (142) & 1&-1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&-1&1&1\\ (134) & 1&1&-1&1&1&1&1&1&1&1&1&-1\\ (143) & 1&1&1&1&1&1&-1&1&1&1&1&-1\\ (234) & 1&-1&1&-1&-1&1&1&1&1&-1&1&1\\ (243) & 1&-1&1&1&1&1&-1&-1&1&-1&1&1 \end{array}$$

Answer 2

Sólo una actualización: Uno debe elegir especiales cocycles $\alpha$, de modo que el proyectiva personajes son funciones de clase, como en Haggarty–Humphreys (1978). Entonces el Teorema 1.3 da el resultado deseado: dos representaciones $\rho_i$ $G$ con el mismo (especial) cocycle son projectively equivalentes si y sólo si el proyectivas de caracteres $\chi_i$ satisfacer $\chi_1 = \lambda \chi_2$ para algunas carácter lineal $\lambda$$G$.

De hecho, la elección de $\alpha$ más cuidadosamente en la otra respuesta, obtenemos $$\scriptsize \newcommand{\ze}{\zeta_3} \newcommand{\zi}{\ze^{-1}} \begin{array}{r|cccc} & () & (12)(34)^G & (123)^G & (132)^G \\ \hline \chi_1 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ \chi_2 & 2 & 0 & \ze & -\zi \\ \lambda & 1 & 1 & \ze & \zi \\ \end{array}$$

• Haggarty, R. J.; Humphreys, J. F. "Proyectivas de caracteres de grupos finitos." Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 36 (1978), no. 1, 176-192. MR466290 DOI:10.1112/plms/s3-36.1.176