Encontrar $f(x)$ de una ecuación funcional

Question

Esta suma parece realmente aterrador para mí. Ninguna idea cómo empezar. Sólo pensé %#% es de $f(0)$ #%. ¿Qué sigue?

Que $0$, que $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ y $f'(0)=1$$$f(x+2y)=f(x)+f(2y)+e^{x+2y}(x+2y)-xe^x-2ye^{2y}+4xy$x $ for all real $y$. Encontrar $ and $.

P.S: Por favor no utilice matemáticas nivel muy alto.

Answer 1

Set %#% \frac{f(x+h) #% y $y = h/2$, entonces $$ - f (x)} h = \frac{f(h)} h + \frac{g(x+h)-g(x)} h -e ^ {h} +2 x tomar ahora de $ límite $g(x) = xe^x$ (y % uso $h \to 0$que ya obtuviste): $ \frac{f(x+h) - f (x)} \to h f \, \quad \frac{f(h)} h = \frac{f(h) - f(0)} {} h-0} \to f'(0) \, \quad \text{etc.} $$

Sigue eso f $ ' = f'(0) + g'(x) - 1 + 2 x = g'(x) +2 x \,. $$

Junto con $f(0)=0$ sigue que $f(0) = 0$.

Answer 2

Diferenciando la ecuación dada w.r.t parcial x manteniendo y constante obtenemos $$ f'(x+2y)=f'(x)+ e^{x+2y}(x+2y)+e^{x+2y}-e^x-e^xx+4y$ $ ahora $x=0$ y $y=x/2$ a $$ f'(x)=e^xx+e^x+2x $ $ ahora integrar ambas partes y encontrar la constante poniendo $x=0$ $$ f(x)=xe^x+x^2 $ $ para

Answer 3

OK, yo prefiero reemplazar $2y$ $y$ obtener

$$f(x+y)=f(x)+f(y)+(x+y)e^{x+y}-xe^x-ye^{y}+2xy \tag{1}$$

A continuación, elija $x=y$ obtener

$$f(2x)=2f(x)+2xe^{2x}-2xe^{x}+2x^2 \tag{2}$$

O, equivalentemente,

$$\begin{align} & f(2x)-2f(x)=(2xe^{2x}+(2x)^2)-2(xe^x+x^2) \\ & f'(0)=1 \end{align} \etiqueta{3}$$

Ahora, voy a demostrar que la única función de la satisfacción de $(3)$ es

$$f(x)=xe^x+x^2 \tag{4}$$

que es sugestivo cuando se mira en $(3)$.

Supongamos que existe otra función llamada $g(x)$ satisfactorio

$$\begin{align} & g(2x)-2g(x)=(2xe^{2x}+(2x)^2)-2(xe^x+x^2) \\ & g'(0)=1 \end{align} \etiqueta{5}$$

Siguiente, la introducción de $h(x)=f(x)-g(x)$ llegamos a la conclusión de que

$$\begin{align} & h(2x)=2h(x) \\ & h'(0)=0 \end{align} \etiqueta{6}$$

y por lo $h(x)=0$$f(x)=g(x)$. Para una prueba de $h(x)=0$ $\mathbb R$ ver este post.