Geodésicos en esferas

Question

Podemos unir el polo norte y el polo sur de una esfera por un número ilimitado de geodesics.

1: Es esta propiedad todavía válido si tomamos cualquier colector que es diffeomorphic a la esfera, es decir, hay dos puntos en este colector que están conectados por un número infinito de mediciones geodésicas?

2: Si la respuesta de la pregunta 1 es no, es posible encontrar un colector de diffeomorphic a la esfera, de tal manera que, para todos los dos puntos distintos no es sólo una geodésica que pasa a través de estos puntos?

Gracias

Answer 1

Para $2$ la respuesta es no. De hecho, más en general, sobre cualquier colector cerrado siempre hay al menos dos puntos con dos geodesics entre ellos.

La razón es que cada cerrados de Riemann colector tiene al menos un cerrado geodésica. Pensé que este resultado fue debido a Birhoff, pero de acuerdo a http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Closed_geodesic es debido a Lyusternik y Fet. (En el que no sea simplemente conectado caso, no es muy difícil de demostrar y es debido a Cartan).

Ahora, vamos a $\gamma:[0,L]$ ser una unidad de velocidad de cerrado geodésica. Podemos suponer wlog que $\gamma$ es mínima en el sentido de que si $\gamma$ está restringido a cualquier subinterval de $[0,L]$, el resultado es una geodésica es no cerrado geodésica.

Ahora, tenga en cuenta los puntos de $\gamma(0)$$\gamma(L/2)$. Si estos son no el mismo punto, a continuación de la línea geodésica $\gamma$ y " $\gamma$ hacia atrás de $\gamma(0)$" son dos geodesics entre el $2$ diferentes puntos.

Si, por otro lado, $\gamma(0) = \gamma(L/2)$ (sino $\gamma'(0)\neq \gamma'(L/2)$, ya que de lo contrario nos gustaría contradecir minimality de $\gamma$), a continuación, repetimos el argumento con el $\gamma(0)$$\gamma(L/4)$. Finalmente, la secuencia de $\gamma(L/2), \gamma(L/4),...,\gamma(L/2^k)$ dentro de la radio de inyectividad en $\gamma(0)$, y el argumento se detiene.