¿Cómo determinar una norma de operador?

Question

Cómo resolver los siguientes:

En el espacio de Hilbert $W_2^1=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{C}|f\in AC[0,1], f'\in L^2[0,1]\}$ con producto escalar $(f,g)=\int_0^1 f\overline{g}dx+\int_0^1 f'\overline{g'}dx$ es la función dada $F:W_2^1\rightarrow\mathbb{C}$, $F(f)=f(0)$.

Probar que F es lineal acotado funcional y encontrar la función de $\phi$ propiedad $F(f)=(f,\phi)$. Determinar el $\|F\|$.

La linealidad es fácil de probar, pero no podía determinar cuál es la función de $\phi$. Supongo que $\|F\|$ es fácil de calcular, si conocemos $\phi$- esto probablemente podría ser realizado mediante el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero estoy teniendo problema para determinar el $\phi$.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Si $\phi$ es decir liso entonces $$\int_0^1\phi'f'\,dx=\phi'(1)f(1)-\phi'(0)f(0)-\int_0^1\phi''f\,dx.$ $ a consecuencia de ello, si satisface a $\phi$ $\phi''=\phi$ y $$(f,\phi)=\phi'(1)f(1)-\phi'(0)f(0).$ $ así queremos $\phi'(1)=0$ $\phi'(0)=-1$. Así $\phi(x)=a\exp(x)+b\exp(-x)$, $ae-be^{-1}=0$, $a-b=-1$, lo que da (eso espero) % $ $$\phi(x)=\frac{1}{e^2-1}e^x+\frac{e^2}{e^2-1}e^{-x}.$la norma de la forma lineal es $\sqrt{\phi,\phi}$.