Algo conectado con Teorema de Arzelà-Ascoli

Question

Deje $X$ ser un espacio polaco. Suponga que $(C_m)_{m\in\mathbb{N}}$ es un aumento de la secuencia de los subconjuntos compactos de $X$ y denotan $C=\bigcup_{m}C_m$. Deje $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ ser una familia de funciones de$X$$\left[0,1\right]$, que es equicontinuous en subconjuntos compactos de $X$.

Por el Arzelà-Ascoli teorema podemos encontrar una larga $(f_{k_n})_{n\in\mathbb{N}}$ convergentes a una función $f$ de manera uniforme en el conjunto de $C_m$, para cualquier $m \in \mathbb{N}$.

Naturalmente, $f$ es continua en cada conjunto $C_m$, pero una función con esta propiedad no tiene que ser continua en el set $C$.

Se puede elegir una larga de tal manera que el límite de una función continua en a $C$?

Como para mí, este concepto es demasiado optimista, pero fue utilizado en el documento de Observaciones sobre Ergodic Condiciones para los Procesos de Markov en polaco Espacios por Stettner (página 110, paso 3).

Answer 1

Su función $f$ es en realidad continua en $C$. La razón es que una función definida sobre un espacio métrico es continuo iff su restricción a cualquier conjunto compacto es continua. Aquí están algunos detalles más.

Que $(x_i)$ sea una secuencia de $C$ convergen a $x\in C$. Entonces $K={ x}\cup { x_i;\; i\in\mathbb N}$ es un subconjunto compacto de $X$. Por lo equicontinuous $(fn)$ $K$, y $(f{k_n})$ converge pointwise a $f$ $K$ (porque $K\subset C$), esto implica que el $f(x_i)\to f(x)$.