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Question

Estoy tratando de hacer la siguiente pregunta del libro de Cálculo Schaum.

De un globo esférico se escapa gas a razón de $2$ ft $^3$ /min. ¿A qué velocidad se reduce la superficie cuando el radio es $12$ ¿Pies?

Una esfera de radio $r$ tiene volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y la superficie $S = 4\pi r^2$ . Entonces entiendo que necesito conocer estas ecuaciones ya que me muestran la relación entre el volumen y la superficie?

Así que, en primer lugar, se nos dice que la tasa de volumen está cambiando a $2$ pies cúbicos/min. Esto me parece bien ¿Pero por qué nos interesa la tasa de cambio del radio en el tiempo? ¿Es porque es el único elemento de la ecuación que puede cambiar realmente?

Ahora necesito tomar la derivada de ambas ecuaciones relacionadas ( $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y la superficie $S = 4\pi r^2$ ). La derivada del volumen es $\frac{dV}{dt} = 2~\frac{\text{ft}^3}{\text{min}}$ basado en la información dada al principio. Así que esto es una pérdida así que en realidad $= -2$

La derivada de la superficie me confunde . El libro lo tiene como $4\pi r^2\frac{dr}{dt}$ . No entiendo por qué no es $4\pi (2r) = 8\pi r $ . ¿Por qué ponemos $\frac{dr}{dt}$ ¿en él?

El libro dice entonces en base a esto $\frac{dV}{dt}=-2 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ y, por lo tanto, $\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{2\pi r^2}$ .

Pero ahora toma la derivada de la superficie como $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ .

Y luego $\frac{dS}{dt} = -\frac{8\pi r}{2\pi r^2} = -\frac{4}{r}$ . Así, cuando $r = 12$ , $\frac{dS}{dt} = \frac{4}{12}=-3~\frac{\text{ft}^2}{\text{min}}$ .

No puedo entender cómo se sabía qué diferenciar cuando.

¿Qué tipo de cadena de pasos sigue la gente para resolverlos?

gracias

Answer 1

Es la regla de la cadena. La tasa de cambio de volumen es

$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}=4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

La tasa de cambio de la superficie es

$$\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=8\pi r \frac{dr}{dt}$$

Dado que la tasa de cambio de volumen es $-2$ ,

$$4\pi r^2\frac{dr}{dt}=-2$$

Usted encuentra $\frac{dr}{dt}$ de esto, y luego enchufándolo en la derivada del área de la superficie te da la tasa de cambio del área de la superficie.

Answer 2

Expresa los índices con respecto al tiempo como primos. Sea $ 4 \pi = k $ para facilitar el cálculo.Esencialmente es :

$$ V = k r^3/3 , V^{'} = k r^2 r^{'} , A = k r^2, A' = 2 k r r^{'} ,\rightarrow \frac{A'}{V'}=\frac{2}{ r }$$

$$ {A'}= \frac{2\cdot 2 }{12}= \frac{1}{3}. $$