¿Cómo se puede mostrar la desigualdad $\frac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-ac+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\ge a+b+c$

Question

¿Cómo se puede mostrar la desigualdad $$\frac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-ac+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\ge a+b+c$$

Donde $a,b,c$ son números reales y $ab+bc+ac$ no es igual a cero.

Esto es lo que hice:

Por Cauchy tenemos: $$\frac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-ac+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}+{\sqrt{a^2-ac+c^2}}+{\sqrt{a^2-ab+b^2}}}$$

Así que necesito demostrar que $${\sqrt{b^2-bc+c^2}+{\sqrt{a^2-ac+c^2}}+{\sqrt{a^2-ab+b^2}}}\ge(a+b+c)$$

Vemos que por ejemplo $b^2-bc+c^2=(b-c)^2+bc$

¡Todavía estoy atascado aquí!

Answer 1

Tenga en cuenta que: $3(a-b)^{2}\ge0$

por lo tanto $4a^{2}-4ab+4b^{2}\ge a^{2}+b^{2}+2ab$.

Y así:

$a^{2}-ab+b^{2}\ge\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{4}$

Dado que ambos lados son positivos:

$\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\ge\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{4}}$

Podemos hacer lo mismo para cada uno de $a,c$ y $b,c$ llevándonos a concluir que,

$\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{a^{2}-ac+c^{2}}+\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\ge\sqrt{\frac{(b^{2}+2bc+c^{2})}{4}}+\sqrt{\frac{(a^{2}+2ac+c^{2})}{4}}+\sqrt{\frac{(b^{2}+2ba+a^{2})}{4}}=\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}+\frac{b+c}{2}=a+b+c$

Answer 2

Pista

Usa la desigualdad de Holder: $$\left(\sum_{cic}\dfrac{a^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\right)^2\left(\sum_{cic}a^2(b^2-bc+c^2)\right)\ge (a^2+b^2+c^2)^3$$ luego necesitamos demostrar que $$(a^2+b^2+c^2)^3\ge (a+b+c)^2\sum_{cic}a^2(b^2-bc+c^2)$$ Esto no es difícil de demostrarlo.