Prueba de $\mathbb{Q}$ no es cíclico

Question

Así que estoy tratando de entender la prueba de:

$\mathbb{Q}$ no es cíclico. Así que esta es la prueba:

Procedemos por contradicción.

Supongamos que $\mathbb Q$ es cíclico entonces sería generado por un número racional de la forma $\frac{a}{b}$ donde $a,b \in \mathbb{Z} $ y $a$ , $b$ no tienen factores comunes. También, $a,b \neq 0$ .

El conjunto $\langle\frac{a}{b}\rangle$ consiste en todos los múltiplos enteros de $\frac{a}{b}$ .

Por lo tanto, si $\mathbb{Q}=\langle\frac{a}{b}\rangle$ entonces $\frac{a}{2b}$ es un múltiplo entero de $\frac {a}{b}$

PROBLEMA : ¿Por qué es $\frac{a}{2b}$ un múltiplo entero? o ¿cómo es un múltiplo entero? No lo veo porque no es $\frac{a}{b} \times \frac{a}{b}=\left(\frac{a}{b}\right)^2$

De todos modos, aquí está el resto de la prueba:

pero si

$c \times \frac{a}{b}=\frac{a}{2b}$ entonces $c=\frac{1}{2}$ no es un número entero.

Así, $\mathbb{Q}$ no puede ser generado por un solo número racional y no es cíclico.

Si alguien puede aclararlo sería genial. También, otro problema que tengo es ¿no muestra esto que $\mathbb{Q}-\{0\}$ no es cíclico porque pensaba que $\mathbb{Q}$ bajo la operación de multiplicación no es un grupo a menos que se elimine el cero.

Answer 1

Esta es una prueba de contradicción . Quieres mostrar $\mathbb Q$ es no generado por $a/b$ es decir, es absurdo que todo número racional es un múltiplo integral de $a/b$ . Usted muestra su absurdo al observar bajo este supuesto $a/2b$ siendo un número racional, debe ser un múltiplo integral de $a/b$ que claramente no lo es. De ahí la suposición de que $\mathbb Q$ es generado por $a/b$ no puede ser cierto. Ya que $a/b$ es arbitraria, esto demuestra $\mathbb Q$ no es generado por ningún elemento individual, es decir, $\mathbb Q$ no es cíclico.

Answer 2

El resultado se refiere al grupo aditivo $(\mathbb{Q}, +)$ no el grupo multiplicativo, $(\mathbb{Q}-\{0\}, \times )$ . A partir de ahí, debería ser capaz de averiguar lo que está pasando.