El lagrangiano de un cohete

Question

Estoy tratando de entender cómo escribir la Lagrangiana de un sistema que consiste en un cohete que pierde masa de gas en una tasa de $\frac{dm}{dt}$ El gas se mueve a una velocidad de $u_0$ en la vista del cohete? La gravedad se puede despreciar.

Lo escribí como la energía cinética del gas, en el sistema del cohete. Pero creo que no está completo. ¿Cuál es la energía potencial en este problema?

En este blog parece que intenta ocuparse de este problema, pero las ecuaciones allí parecen no tener nada que ver con el tema...

Answer 1

Normalmente, el Lagrangiano (en coordenadas cartesianas) para un objeto de masa $m$ en un potencial $V$ sería $$L=T-V\to\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-V(x,y,z)\tag{1}$$ Se deduce entonces que para unas coordenadas $q$ , $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q}\to\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{q}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q}\to \ddot{q}=-\frac{1}{m}\frac{\partial V}{\partial q}\tag{2}$$ Para una partícula libre, $V=0$ y $\frac{\partial V}{\partial q}=0$ y así $\ddot{q}=0$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la propulsión proviene de una fuerza no derivado de un potencial externo. Al igual que la fricción, tenemos que tratarla por separado añadiendo un término adicional al lado derecho: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q}-F_q$$ Se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange del primer tipo.