Cuando la familia del DF ' s $\mathcal{P}$ dejar de ser dominada por un % de medida $\mu$

Question

Sobre el tema de los mínimos suficientes estadísticas, hay un importante teorema que requiere la familia de distribuciones de probabilidad $\mathcal{P}$ está dominado por algún tipo de medida $\mu$.

Como yo lo entiendo, "dominado" en este contexto significa simplemente cada $p_\theta \in \mathcal{P}$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$.

Mi pregunta es, cuando es una condición que no para rellenar? Parece que, dado cualquier familia de distribuciones de probabilidad, usted puede construir una medida $\mu$ que domina $\mathcal{P}$

Me siento como que he fundamentalmente mal interpretado este. Podría alguien que me lo explique bien?

Answer 1

Por el dominio, es importante que el dominante medida $\mu$ ser $\sigma$-finito$\dagger$.

Si su familia de distribuciones de probabilidad $\mathcal{P}$ es contable, entonces sí, es dominado siempre. Usted puede tomar $\mu=\sum_i 2^{-i} P_i$. Para un no-dominado por ejemplo, tomar el recuento de las medidas en algunos de los innumerables conjunto de puntos.

$\dagger$ La razón es que el uso de dominación es en su mayoría relacionados con el Radon-Nikodym teorema, que requiere de $\sigma$-finito medidas: Wikipedia: Radon-Nikodym Teorema.