Serie de radicales anidados

Question

No encuentro la manera, elevar al cuadrado la expresión haría más términos y lo haría más difícil, supongo que debe haber algo que hacer con el primer y el último término ya que suman 100 o tal vez diferencia de al cuadrado, pero no puedo resolverlo.

Answer 1

Dato útil:

$$\sqrt{a\pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \tag{1}$$

Prueba:

\begin {align} RHS^2 &= \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{2}+ \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{2} \pm 2 \sqrt { \left ( \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{2} \right ) \left ( \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{2} \right )} \\ &= a \pm 2 \sqrt { \frac {a^2-(a^2-b)}{4}} \\ &= a \pm 2 \sqrt { \frac {b}{4}} \\ &= a \pm \sqrt {b} \\ &= LHS^2 \\ LHS &= RHS \qquad (a^2 \ge b \ge 0) \end {align}

Dejemos que

$$S_{\pm}=\sum_{j=1}^{n^2-1} \sqrt{n \pm \sqrt{j}} \tag{2}$$

e invertir el orden de la suma tomando $\, k=n^2-j$ entonces

$$S_{\pm}=\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n \pm \sqrt{n^2-k}} \tag{3}$$

Ahora por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ ,

$$S_{\pm}=\frac{S_+ \pm S_-}{\sqrt{2}} \implies \frac{S_+}{S_-}=1+\sqrt{2}$$