No encuentro la manera, elevar al cuadrado la expresión haría más términos y lo haría más difícil, supongo que debe haber algo que hacer con el primer y el último término ya que suman 100 o tal vez diferencia de al cuadrado, pero no puedo resolverlo.
Dato útil:
$$ \sqrt{a\pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \tag{1}$$
Prueba:
\begin {align} RHS^2 &= \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{2}+ \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{2} \pm 2 \sqrt { \left ( \frac {a+ \sqrt {a^2-b}}{2} \right ) \left ( \frac {a- \sqrt {a^2-b}}{2} \right )} \\ &= a \pm 2 \sqrt { \frac {a^2-(a^2-b)}{4}} \\ &= a \pm 2 \sqrt { \frac {b}{4}} \\ &= a \pm \sqrt {b} \\ &= LHS^2 \\ LHS &= RHS \qquad (a^2 \ge b \ge 0) \end {align}
Dejemos que
$$S_{\pm}=\sum_{j=1}^{n^2-1} \sqrt{n \pm \sqrt{j}} \tag{2}$$
e invertir el orden de la suma tomando $\, k=n^2-j$ entonces
$$S_{\pm}=\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n \pm \sqrt{n^2-k}} \tag{3}$$
Ahora por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ ,
$$S_{\pm}=\frac{S_+ \pm S_-}{\sqrt{2}} \implies \frac{S_+}{S_-}=1+\sqrt{2}$$
@Supermage1 Pues eso podría ser fácil. Sólo hay que formar cuadrados perfectos dentro de los radicales. Así que sólo hay que resolver $xy=b/4$ y $x+y=a$ para conseguir $x, y$ y por lo tanto el radical original sería igual a $\sqrt x+\sqrt y$
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Interesante. Unas burdas estimaciones te dicen rápidamente cuál de esas respuestas es la correcta (todas menos una son demasiado grandes). Y un rápido cálculo numérico confirma el resultado, pero no veo un modo de ataque algebraico barato.
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El cálculo numérico apoya firmemente la conjetura de que $$\sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n+\sqrt{k}}=(1+\sqrt2)\sum_{k=1}^{n^2-1}\sqrt{n-\sqrt{k}}$$ para $n\geq2$ Todavía no tengo idea de cómo atacarlo.
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¿Cuál es el origen de este problema?