¿Qué ley de la conservación corresponde a Lorentz aumenta?

Question

El Teorema de Noether se utiliza para relacionados con la invariancia bajo ciertas transformaciones continuas a conservadas corrientes. Un ejemplo común es que las traducciones en el espacio-tiempo corresponden a la conservación de la cuatro-impulso.

En el caso del momento angular, el tensor (en especial de la relatividad) tiene 3 componentes independientes para el clásico del momento angular, pero 3 más componentes independientes que, hasta donde yo sé, representan Lorentz aumenta. Así que, ¿qué ley de la conservación corresponde a la invariancia de Lorentz bajo aumenta?

Answer 1

Advertencia: este es un largo y aburrido de la derivación. Si usted está interesado sólo en el resultado salta a la última frase.

El teorema de Noether se puede formular de muchas maneras. Para los fines de su pregunta que se puede utilizar cómodamente el especial relativista de Lagrange formulación de un campo escalar. Así, supongamos que tenemos una acción $$S[\phi] = \int {\mathcal L}(\phi(x), \partial \phi_{\mu}(x), \dots) {\rm d}^4x.$$

Ahora supongamos que la acción es invariante bajo algunos transformación infinitesimal $m: x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \epsilon a^{\mu}$ (no vamos a considerar cualquier explícita la transformación de los campos). Entonces tenemos una conservado actual $$J^{\mu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{\mu}} \phi^{\nu} a_{\nu} - {\mathcal L}^{\mu} = \left ({\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{\mu}} \phi^{\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} \right) a_{\nu} .$$ Podemos obtener una conserva de carga de la misma por dejar que $Q \equiv \int J^0 {\rm d}^3x$ desde $\partial_{\mu}J^{\mu} =0$ tenemos que $${\partial Q \over \partial t} = \int {\rm Div}{\mathbf J}\, {\rm d}^3 x = 0$$ que sostiene cualquier momento las corrientes de la caries lo suficientemente rápido.

Si la transformación está dada por la traducción de $m_{\nu} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \delta^{\mu}_{\nu}$ tenemos cuatro conservado corrientes $$J^{\mu \nu} = {\partial {\mathcal L} \over \partial \phi_{\mu}} \phi^{\nu} - {\mathcal L} g^{\mu \nu} .$$

Este objeto es más comúnmente conocido como estrés energía tensor $T^{\mu \nu}$ y el asociado conservado corrientes son conocidos como los ímpetus $p^{\nu}$. También, en general, la conserva de corriente está dada simplemente por $J^{\mu} = T^{\mu \nu} a_{\nu}$.

Para una transformación de Lorentz tenemos $$m_{\sigma \tau} \leftrightarrow \delta x^{\mu} = \epsilon \left(g^{\mu \sigma} x^{\tau} - g^{\mu \tau} x^{\sigma} \right)$$ (note que esto es antisimétrica y así hay sólo 6 independiente de los parámetros de la transformación) y así la conserva corrientes son el momento angular de las corrientes $$M^{\sigma \tau \mu} = x^{\tau}T^{\mu \sigma} x^{\sigma}T^{\mu \tau}.$$ Finalmente, obtenemos la conserva el momento angular como $$M^{\sigma \tau} = \int \left(x^{\tau}T^{0 \sigma} x^{\sigma}T^{0 \tau} \right) {\rm d}^3 x .$$

Tenga en cuenta que para las partículas podemos avanzar un poco más, ya que sus asociados ímpetus y angular momenta no está dada por una integral. Por lo tanto, tenemos simplemente que $p^{\mu} = T^{\mu 0}$ y $M^{\mu \nu} = x^{\mu} p^{\nu} x^{\nu} p^{\mu}$. La rotación de la parte de este escrito en el formulario de la habitual pseudovector) es $${\mathbf L}_i = {1 \over 2}\epsilon_{ijk} M^{jk} = ({\mathbf x} \times {\mathbf p})_i$$ mientras que para el impulso de la parte tenemos $$M^{0 i} = \left(t {\mathbf p} - {\mathbf x} E \ \ derecho)^i$$ que no es otra cosa que el centro de masa en $t=0$ (somos libres para elegir $t$, puesto que la cantidad se conserva) multiplicado por $\gamma$ ya que tenemos relaciones $E = \gamma m$, ${\mathbf p} = \gamma m {\mathbf v}$. Note la similitud con el ${\mathbf E}$, $\mathbf B$ descomposición del tensor de campo electromagnético de $F^{\mu \nu}$. .........