Para cualquier entero $p \le q$, vamos
- $I(p,q) = \{\; k \in \mathbb{Z} : p \le k \le q\;\}$ el conjunto de los enteros entre $p$ e $q$.
- $S(p,q) = \{\; \sum_{k\in A} k : A \subset I(p,q)\;\}$ el conjunto de subconjunto sumas de $I(p,q)$.
Para cualquier entero $n \ge 2$, vamos a $N_n = \sum\limits_{k\in I(2,n)} k = \sum\limits_{k=2}^n k = \frac{n(n+1)}{2} - 1$.
Para cualquier $t = 1 \pm 2 \pm 3 \pm \cdots \pm n \in M_n$, vamos a $A \subset I(p,q)$ ser el
colección de enteros $k$ cuyo signo en la expansión de $t$ es positivo. Tenemos
$$t = 1 + \sum_{k \in A} k - \sum_{k \in I(2,n) \setminus A} k
= 1 - N_n + 2\sum_{k \in A} k$$
Esto establecer una correspondencia entre $M_n$ e $S(2,n)$. Como resultado,
$$|M_n| = |S(2,n)|$$
Es fácil ver $S(2,n) \subset I(0,N_n)$ e $0,2,N_n \in S(2,n)$ pero $1,N_n - 1 \not\in S(2,n)$.
Ahora suponga $n \ge 3$. Para cualquier $p \in S(2,n)$ tal que $2 \le p < N_n - 2$, podemos encontrar un no-vacío adecuado $A \subset I(2,n)$ tal que $p = \sum\limits_{k \in A} k$. Hay dos posibilidades:
$A$ no tiene el formulario de $I(q,n)$
En este caso, $A$ contiene un elemento $r$ tal que $r+1 \in I(2,n)\setminus A$. Deje $A' = ( A \setminus \{ r \} ) \cup \{ r + 1 \}$, tenemos:
$A' \subset I(2,n)$ e $\sum\limits_{k \in A'} k = p + 1$. Esto implica $p + 1 \in S(2,n)$.
$A$ tiene la forma $I(q,n)$
En este caso, $q > 3$ porque $p < N_n - 2$.
Deje $A'' = ( A \setminus \{ q \} ) \cup \{ 2, q-1 \}$. Una vez más, hemos
$A'' \subset I(2,n)$ e $\sum\limits_{k \in A''} k = p + 1$. Esto implica $p + 1 \in S(2,n)$ nuevo.
Combinar estos y aviso de $2 \in S(2,n)$, nos encontramos con
$S(2,n) = I(0,N_n) \setminus \{ 1, N_n - 1 \}$.
Como resultado, para $n \ge 3$, tenemos:
$$|M_n| = |S(2,n)| = |I(0,N_n)| - 2 = N_n - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 2$$
