El anillo de grupo de un anillo.

Question

Deje $R$ ser un anillo. Desde $R$ también es un grupo, entonces podemos hablar de el anillo de grupo $R[R]$. Quiero entender este anillo de grupo $R[R]$.

Un elemento $x\in R[R]$ se escribe como un número finito de formal suma $$x=r_1s_1+r_2s_2+\cdots+r_ns_n$$ donde tanto $r_i$ e $s_i$ están en $R$ pero dado que el anillo de $R$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación, entonces es claro que $x\in R$. Así que no podemos simplemente decir que el grupo de anillo de $R[R]$ es igual a $R$?

Answer 1

Sería mejor escribir elementos de <span class="math-container">$R[R]$</span> en forma <span class="math-container">$$x=\sum_{s\in R}r_se^s.$$ Since <span class="math-container">$ e^se^t=e^{s+t}$</span>, multiplication in <span class="math-container">$R[R]$</span> captures the group structure of <span class="math-container">$(R,+)$</span>. También se evita la confusión que tienes.</span>

Answer 2

Es importante recordar que las combinaciones lineales son formales en que la forma de escribir que lo distingue de los coeficientes de los generadores: el $r_i$'s son los coeficientes, y el $s_i$'s son la base de los elementos.

Su yuxtaposición ¿ no denotar la multiplicación en $R$, sino que $r_i$ es el coeficiente en el elemento de base $s_i$.

Uno puede formar un grupo de anillo sobre el grupo aditivo $(R,+)$ o un monoid anillo sobre el monoid $(R,\cdot)$, por lo que la notación anterior es un poco ambiguo. Tal vez sería beneficioso para olvidar que $R$ es un anillo y hable acerca de su subyacente grupo abelian $A$ (o el uso de $M$ si usted está haciendo la monoid en su lugar.)