Construir una función continua de verdadero valor que tiene cero enteros y tales que la imagen de la función no está cerrada.

Question

Estoy tratando de construir un real continua la función con valores de $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que se lleva a cero en todo entero puntos(que es $f(k)=0$ para todos los $k\in \mathbb{Z}$) y de Imagen(f) no es cerrado en $\mathbb{R}$

Yo tenía $f(x)=\sin(\pi x) $ en mente. Pero la imagen de $f(x)$ es cerrado.

Tengo la sensación de que podemos utilizar alguna idea inteligente para modificar esta función tal que satisfacer nuestra condición dada.

Answer 1

La imagen de $\sin(\pi x)$ está cerrada debido a los picos de alcance 1 y -1. Para hacer que se abra, necesitamos los picos para obtener arbitrariamente cerca de algún valor, pero nunca llegar a ellos. La forma más fácil es usar una amplitud modificador que asíntotas a un constante valor distinto de cero en el infinito, como $\tanh(x)$. Por lo tanto, podemos usar la función $$ f(x) = \sin(\pi x)\tanh(x), $$ que es obviamente continua, cero en cada número entero, y puede ser fácilmente demostrado tener la imagen de $(-1,1)$

Answer 2

La solución más sencilla que vendría a la mente es asumir que la función seno y se multiplica con una amplitud envolope que sólo los enfoques $1$ en la $\pm$límite infinito: $$ f(x) = \frac{1+|x|}{2+|x|}\cdot\sin(\pi\cdot x) $$ Trazados, junto con las asíntotas:

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Por cierto, ya que usted acaba de decir que "no se cierra", pero no se si debe ser acotado, también podríamos elegir

$$ f\!\!\!\!/(\!\!\!\!/x\!\!\!\!/)\!\!\!\!/ =\!\!\!\!/ x\!\!\!\!/\cdot\!\!\!\!/\el pecado\!\!\!\!/\!\!\!\!\!\!\!\!/(\pi\!\!\!\!/\cdot\!\!\!\!/ x\!\!\!\!/) $$

^{(La imagen de todo esto es de $\mathbb{R}$ que es realmente cerrado, como los comentaristas comentó.)}

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Una más que interesante ejemplo que sólo se me ocurrió:

$$ f(x) = \sin x \cdot\sin(\pi\cdot x) $$ ¿Por qué funciona esto? Bien, esta función nunca llegue a $1$ o $-1$, porque para que eso ocurra tendría simultáneamente la necesidad de $x$ e $\pi\cdot x$ a ser un extraño múltiplo entero de $\tfrac\pi2$. Pero que nunca puede coincidir debido a $\pi$ es irracional! Sin embargo, no ser arbitrariamente cerca de $\pm1$, en el hecho de que se hace cercano a $-1$ muy rápidamente debido a $\tfrac\pi2 \approx 1.5 = \tfrac32$. Pero en realidad nunca llega a cualquiera de los límites.

Answer 3

El uso de funciones lineales a trozos (en lugar de $\sin (\pi x)$) hace que este sea más simple. Para cada una de las $n \neq 0$ dibujar el triángulo con vértices $(n,0),(n+1,0)$ e $(n+\frac 1 2, 1-\frac 1 {|n|})$. Podrá ver inmediatamente cómo construir un ejemplo. [Obtendrá una función (función lineal a trozos), cuyo rango contiene $1-\frac 1 {|n|}$ por cada $n$ pero no contiene $1$].

Answer 4

Si $f$ verifica la deseada propery, su restricción $f|_{[n,n+1]}$ da una función continua en a$[n,n+1]$ que es cero en los extremos del intervalo, para cualquier $n \in \mathbb{Z}$. Recíprocamente, si tenemos $f_n : [n,n+1] \to \mathbb{R}$ continua con $f_n(n) = f_n(n+1) = 0$ para cada entero $n$, por el encolado lema esto le da una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(n) = f_n(n) = 0$. Esto significa que podemos afrontar el problema de alguna manera "local", es decir, podemos fijar un intervalo de $[n,n+1]$. Ahora, la función

$$ f_n (t) = \mu_n\sin(\pi(t-n)) $$

toma valores en $\mu_n[-1,1] = [-\mu_n,\mu_n]$ e $f_n(n) = f_n(n+1) = 0$. Por lo tanto, la familia $(f_n)_n$ induce una función continua $f$ que se desvanece en $\mathbb{Z}$ y

$$ f(\mathbb{R}) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} f_n([n,n+1]) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}[-\mu_n,\mu_n] $$

así el problema se reduce a la elección de una secuencia $(\mu_n)_n$ , de modo que la antigua unión está abierta. Una opción posible es $\mu_n = 1-\frac{1}{|n|}$ , de modo que

$$ f(\mathbb{R}) = \bigcup_{n\in \mathbb{Z}}[-\mu_n,\mu_n] = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}[-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] = (-1,1). $$

Answer 5

Tener en cuenta

<span class="math-container">$$f(x) = \sin^2 (\pi x)\frac{x^2}{1+x^2}.$$</span>

Entonces es continua, <span class="math-container">$f$</span> <span class="math-container">$f=0$</span> en los enteros, pero <span class="math-container">$f(\mathbb R) = [0,1).$</span>