El término "finito" en este caso está haciendo hincapié en el hecho de que se está "definido", "bien definido" o "existe como un número real".
Para entender mejor por qué esto es importante, considerar los siguientes ingenuo intento de dar un ejemplo de una función con unbounded derivado en un intervalo cerrado:
$$f(x) = \sqrt{x}$$
La derivada, que es $$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$ is clearly unbounded in $(0,1]$ pero aun no se define en cero.
El objetivo del libro es rechazar tales ejemplos. Técnicamente podría decir "definida y acotada", o simplemente "unbounded", pero para evitar cualquier ambigüedad, es habitual decir "finito e ilimitado" aquí. Algunos podrían argumentar que la derivada está "definido como $\infty$" en cero (como opuesto a "totalmente indefinido", por ejemplo, cuando la función no está aún continua en el punto), y para evitar cualquier ambigüedad en la redacción que normalmente se utiliza es "finito" (es decir, se define como un número real).
Esto es en realidad por qué el ejemplo en tu libro es interesante. Por descartar la ingenua ejemplos como el de $\sqrt{x}$, uno podría preguntarse si no podría ser de cualquier función con unbounded derivada en un intervalo cerrado.
Recuerdo perfectamente que cuando mi maestro le preguntó en clase, pensé que si ese ejemplo podría existir, seguramente se trataría de una función que obtiene más abrupto y escarpado, y que "terminan siendo infinito en un intervalo cerrado" y yo le contesté que era imposible.
Pero supongo que lo que, es posible, como en el ejemplo en tu libro muestra.
