Homomorfismos de módulos graduados

Question

Dejemos que $M$ y $N$ ser calificado $R$ -módulos (con $R$ un anillo graduado). $\varphi:M\rightarrow N$ es un homomorfismo homogéneo de grado $i$ si $\varphi(M_n)\subset N_{n+i}$ . Denote por $\mathrm{Hom}_i(M,N)$ el grupo de homomorfismos homogéneos de grado $i$ . Definimos $^*\mathrm{Hom}_R(M,N)=\bigoplus_{i\in\mathbb{Z}}\mathrm{Hom}_i(M,N)$ . Se trata de un (graduado) $R$ -submódulo de $\mathrm{Hom}_R(M,N)$ .

¿Cómo puedo demostrar que estos dos módulos son iguales si $M$ es finito? ¿Y conoce un contraejemplo si $M$ no es finito?

Answer 1

Voy a suponer que te refieres a $M$ está generada finitamente, no es finita.

Elige un conjunto de generadores homogéneos $g_1, \ldots, g_n$ de $M$ tal que $g_i \in M_{m_i}$ . Para cualquier $g_i$ , $\varphi(g_i) \in \bigoplus_{j=1}^{k_m} N_{n_{i,j}}$ , es decir , grados vistos aplicando $\varphi$ a $g_i$ son $n_{i,j} - m_i$ . Desde $\varphi$ está completamente determinado por $g_i$ sabemos que $\varphi \in \sum_{i,j} \hbox{Hom}_{n_{i,j} - m_i}(M, N)$ . (Utilizo "suma" porque puede haber duplicados).

Answer 2

Este es mi enfoque. Yo anote todos los datos a un pdf. Usted puede comprobar que :) (Quizás me equivoco)

Answer 3

Todo está en este enlace , Lemma 4.2.