¿Cómo resolver un pde lineal de primer orden con valores vectoriales?

Question

¿Existe una solución analítica para el sistema pde?

$$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = 0$ $$$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial x} = 0$ $

Más generalmente, ¿qué hay de$$a\frac{\partial f}{\partial x} + b\frac{\partial g}{\partial y} = 0$ $$$c\frac{\partial f}{\partial y} - d\frac{\partial g}{\partial x} = 0$ $ donde$a,b,c,d$ son todas constantes?

Tal vez ahora la solución analítica dependa de estos coeficientes y, por lo tanto, sea difícil o poco clara, en cuyo caso se desea una prueba de existencia. ( ¿Aquí ayuda el teorema de Frobenius? )

Answer 1

Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann disfrazadas. Dicen que$f-ig$ es una función holomórfica de$z=x+iy$.

Answer 2

Asumo $f, g$ son campos escalares. Deje $A(x,y) = f(x,y) \hat x + g(x,y) \hat y$. Este sistema es equivalente a

$$\nabla \cdot A = 0, \quad \nabla \times A = 0$$

El campo de vectores $A$ está totalmente determinado por los valores de límite. Usted puede atacar un problema con la generalizada del teorema de Stokes, pero las expresiones son un poco implicado.

Sin embargo, dado que este es un 2d problema, puede utilizar el análisis complejo y la integral de Cauchy fórmula. La condición de $\nabla \cdot A = 0, \nabla \times A = 0$ para un campo vectorial es totalmente equivalente a decir que existe la correspondiente función compleja $a$ que es holomorphic.

Por lo tanto, en algunos complejos punto de $z$, usted puede encontrar el valor de $a$ por

$$a(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{a(z')}{z - z'} \, dz'$$

Para algunos convenientemente elegido trazado cerrado con niza, los valores conocidos en la frontera, esto podría tener una solución analítica.

Answer 3

Aquí hay una solución analítica para el primer sistema.

$$ f \ left (x, y \ right) = {F_1} \ left (y-ix \ right) + {F_2} \ left (y + ix \ right), $$

PS

donde$$ \,g \left( x,y \right) = i{ F_1} \left( y-i x\right)-i{ F_2} \left( y+ix \right) + {\it C} ,$ son funciones arbitrarias y$F_1,F_2$ es una constante.