Suma de variables aleatorias de N i.i.d.

Question

Supongamos que tenemos un % variable aleatoria $X_i$pdf

$$X_i = \begin{cases}1 & P(X_i=1)=p\-1 & P(X_i=-1)=q\0 & P(X_i=0)=1-p-q\end{cases}$$

Qué es el pdf de la suma de $N$ i.i.d. variables al azar, es decir,

$$X = X_1+X_2+\dots+X_N$$

Answer 1

$n\in{-N,-N+1,-N+2,\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots, N-2,N-1,N}$, Tenemos $$ \Pr(X=n) = \sum_{k,\ell,m\,:\,k+\ell+m=n} \frac{n!} {k! \ell! m!} p ^ k q ^ \ell (1-p-q) ^ m. $$ en un solo sentido, que es una respuesta. Uno podría preguntarse acerca de un problema combinatorio: ¿Cuántos triples $(k,\ell,m)$ ¿hay que $k+\ell+m=n$? ¿Y la suma admite simplificaciones útiles? Pero voy a dejar esta respuesta posiblemente menos completa por ahora.