- Cómo Integrarse

Question

<blockquote> <p>Estamos para resolver %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Había probado ampliando el denominador y la sustitución de $$\int \frac1{(3+4\sin x)^2}\,dx.$ $\sin x$ y luego poner $\tan(x/2)$. Sin embargo, esto hace aún más compleja la integración. Tengo una gran ecuación bi-cuadrática en el denominador.</p> <p>Si soy capaz de conseguir $\tan(x/2) =t$ en el numerador, la pregunta puede ser procedida de allí.</p> <p>¿Cualquier idea u otros métodos por que lo podría solucionar?</p> <p>Gracias de antemano.</p>

Answer 1

Si ponemos $3 + 4 \sin(x) = u$, obtenemos:

$$I = \int\frac{du}{u^2\sqrt{7 +6 u - u^2}}$$

Rendimientos de sustitución $u = \frac{1}{t}$:

$$I = -\int\frac{tdt}{\sqrt{7t^2 +6 t - 1}} = -\frac{1}{14}\int\frac{(14t + 6)dt}{\sqrt{7t^2 +6 t - 1}} +\frac{3}{7}\int\frac{dt}{\sqrt{7t^2 +6 t - 1}}$$

El primer término en el lado derecho cede $-\frac{1}{7}\sqrt{7t^2 + 6 t -1}$, mientras que el segundo término se evalúa fácilmente escribiendo el argumento de la raíz cuadrada en términos de un cuadrado perfecto y luego haciendo una sustitución hiperbólica.

Answer 2

Intentemos esto manualmente. Como generalmente en primer lugar podemos tratar la sustitución $$\tan\left(\frac x2\right)=t$$ which gives $$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$$ and $$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}.$$ Then our integral reduces to $$\int \frac1{(3+4\sin x)^2}\,dx=2\int \dfrac{t^2+1}{(3t^2+8t+3)^2}\,dt.$$ Note that the fact $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac uv\Big)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2},$ lets us to assume our integral should consists some thing of the form $$\dfrac{f(t)}{3t^2+8t+3},$$ where $f$ is a polynomial whose degree is at most $2.$ By inspection we can see that $$\color{Green}{\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{t^2+3t+1}{3t^2+8t+3}\Big)=\dfrac{-t^2+1}{(3t^2+8t+3)^2}}.$$

Por lo tanto %#% $ de #% para evaluar el rojo coloreado integral, encontrar las facciones parciales y continuar como solemos hacer...

Buena suerte con tu problema.

Answer 3

Indirecta: $$\displaystyle \int \frac{dx}{(a+4sinx)^2} = -\frac{d}{da}\int \frac{dx}{a+4sinx}$ $ $$\int \frac{dx}{a+4sinx}= \frac{2arctan\left(\frac{atan(\frac{x}{2})+4}{\sqrt{a^2-16}}\right)}{\sqrt{a^2 -16}}$ $