Subspace denso del espacio de medidas en el % de Toro $\mathbb{T}$.

Question

Cada medida $\mu$ sobre el torus $\mathbb{T}$ es el débil-$\ast$ límite de una secuencia de absolutamente continuas medidas en $\mathbb{T}$ $C^{\infty}$ densidades. Me gustaría ver una prueba de este hecho. He leído que el de Stone–Weierstrass teorema pueden estar involucrados.

Podría alguien que me señale una referencia para la prueba o me ayudan a corregir y hacer riguroso de la siguiente forma?

"La prueba:"

1. Deje $f \in C^{\infty}(\mathbb{T})$$f_{\epsilon}(x) = \epsilon^{-1}f(\epsilon^{-1}x)$.

2. $\mu \ast f_{\epsilon} \rightarrow \mu$ en débil-$\ast$ [?]

3. $\mu \ast f_{\epsilon}$ es continua en [?]

4. Por la Piedra-teorema de Weierstrass, $\forall \eta > 0$, $\forall \epsilon > 0$, $\exists g_{\eta,\epsilon} \in C^{\infty}(\mathbb{T})$ tal que $$ \|\mu \ast f_{\epsilon} - g_{\eta,\epsilon} \|_{\infty} < \eta. $$

5. $g_{\eta,\epsilon} \rightarrow \mu$ en débil-$\ast$ [?]

Answer 1

SUGERENCIA. Tomar un reblandecer la familia $\eta_\epsilon$. La convolución $\eta_\epsilon \ast \mu$ es una función suave.

Para demostrar que $\eta_\epsilon \ast \mu$ converge a $\mu$ en los débiles-$\ast$ sentido, el uso del teorema de Fubini para deducir la siguiente expresión para la vinculación de $\eta_\epsilon\ast \mu$ en contra de una función arbitraria $\phi\in C(\mathbb{T})$: $$ \langle \eta_\epsilon \ast \mu \phi\rangle=\int_{\mathbb{T}}(\eta^\surd_\epsilon \ast \phi)(y)\, \mu(dy),$$ donde $\eta_\epsilon^\surd(y)=\eta_\epsilon(-y)$.

Ahora usted tiene una convolución de la función de $\phi$ contra un reblandecer la familia. Usted puede entonces tener acceso a todos los habituales de los resultados que ya conocemos.