Tengo 25000 números y escojo al azar uno por sólo hasta que uno que yo ya he escogido. Quiero saber el número esperado de selecciones que necesitan ser hechas.
El valor esperado en mi opinión debe calcularse como 1/25000 1 + (24999/25000)(2/25000)2 + (24999/25000)(24998/25000) (3/25000) 3 +...
¿Es correcta esta fórmula? ¿Cuál sería la solución?
Será mejor,
Su expresión es de cerca, pero de $1$ menos que el valor verdadero. Por ejemplo, $\frac{1}{25000}$ es la probabilidad de que el primer duplicado viene cuando dos números se han dibujado, no uno; y $\frac{24999}{25000} \cdot \frac{24998}{25000} \cdot \frac{3}{25000}$ es la probabilidad de que el primer duplicado viene cuando cuatro números han sido sacadas, no tres.
Esta es una variante del problema del cumpleaños, estudiado por Ramanujan, con una solución para la población general $M$$ \sqrt{\dfrac{\pi M}{2} } +\dfrac{2}{3} + \sqrt{\dfrac{\pi}{288 M}}$. En este caso con $M=25000$ es acerca de $198.83$.
Deje $\{0,1,\dots,a\}$ ser el intervalo en el que la búsqueda de los números.
El primer número puede ser elegido de manera arbitraria. Para el segundo número, podemos decir, que existe una probabilidad de $1\over a$ elegir un número que ya está elegido (el número de selecciones vuelve $2$) y una probabilidad de $a-1\over a$ elegir un nuevo número.
En el segundo caso, hay $2$ número que ya está elegido, por lo que la probabilidad de elegir una de ellas vuelve a ser $2\over a$ y la probabilidad de elegir un nuevo número se convierte en el $a-2\over a.$ Finalmente, obtenemos una ecuación como esta, en la $E$ es su valor esperado:
$$E = \frac1a\times1 + \frac{a-1}a\times a\left(\frac2a\times2+\frac{a-2}a\dots\left(\frac{a-1}a\times(a-1)+\frac1a\times a\right)\dots\right)$$
El plazo de $E$ puede ser generado mediante una simple relación de recurrencia:
$$\begin{eqnarray} E\hphantom{_n} &=& E_1\\ E_a &=& a\\ E_n &=& \frac{n^2}a+\frac{a-n}aE_{n+1} \end{eqnarray}$$
Mediante un sencillo programa Haskell podría calcular que $E\approx 197.833.$
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