Estudiando con antelación para los exámenes de cualificación, me encontré con el siguiente problema ( Exámenes de cualificación para licenciados de UMass Amherst / Otoño 2010 Examen de Análisis Complejo (ver #10) ):
Sea $D$ denota el conjunto abierto $D:=\{z:|z|>1\}$ y $\bar D:=\{z:|z|\geq1\}$ i cierre. Supongamos que $f(z)$ es holomorfa en un conjunto abierto $U$ que contiene $\bar D$ a $$\lim_{z\to\infty}f(z)=1.$$ Demuestre que para cualquier $z$ en $D,$ $$\int_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=2\pi i(1-f(z)).$$
Obsérvese que D significa aquí lo contrario de lo que suele significar. Lo que me interesa saber es dónde se equivoca mi planteamiento.
Sea $g(\zeta)=f(1/\zeta).$ Entonces
$$\int_{|\zeta|=1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=-\int_{|\zeta|=1}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{-1}-z}d\zeta.$$
El razonamiento es que los valores de la derecha son idénticos a los de la izquierda, y la dirección simplemente se invierte. Así que nos gustaría demostrar que
$$\int_{|\zeta|=1}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{-1}-z}d\zeta=2\pi i(f(z)-1),$$
pero por alguna razón sigo recibiendo que es $-2\pi if(z)/z^2.$ Lo bueno de $g$ es que es holomorfa dentro de un conjunto abierto que contiene el disco unitario, ya que la condición límite en $f$ nos permite definir $g(0)=1.$ Por lo tanto, el integrando sólo tiene un polo, de orden 1, en $w=1/z.$ Entonces $$\mathrm{Res}_w=\lim_{\zeta\to w}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{-1}-z}\left(\zeta-\frac{1}{z}\right)$$ $$=\lim_{\zeta\to w}\frac{\zeta g(\zeta)}{1-z\zeta}\frac{\zeta z-1}{z}$$ $$=-\frac{f(z)}{z^2}.$$
Por lo tanto, o yo estoy equivocado, la pregunta es incorrecta, o la función $f(z)$ tiene que ser $z^2/(1-z^2).$ Me imagino que es lo primero.
Gracias por su ayuda.
