Encuentre todas las funciones de forma tal que si$I$ abre el intervalo delimitado, entonces$f(I)$ también está abierto de la misma longitud

Question

Encuentre todas las funciones$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de manera tal que para todos los$I$ intervalo de apertura abierto que sigue$f(I)$ también es un intervalo de apertura abierto de la misma longitud que$I$.

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Es fácil ver que$f(x)=\pm x + c, c \in \mathbb{R}$ son soluciones, pero no puedo probar / refutar que esto es todo.

Intuitivamente, parece que$|f(x) - f(y)|=|x - y|$ debe representar a todos los$x, y$, siguiendo la misma condición de longitud.

Answer 1

Sugerencia: $f$ debe ser monótona, por lo $(f(x)-f(y))/(x-y)$ debe ser el mismo para todos los $y \ne x$.

EDIT: Para mostrar $f$ es monótona: si $a < b < c$, $f((a,c)) = f((a,b)) \cup f((b,c)) \cup \{f(b)\}$. Ahora la longitud de $f((a,c))$ es la longitud de $(a,c)$, que es la suma de las longitudes de $(a,b)$$(b,c)$, y por lo tanto la suma de las longitudes de $f((a,b))$$f((b,c))$. La única forma en que la unión de dos intervalos abiertos (más de un punto) puede tener una longitud igual a la suma de las longitudes de los intervalos es que los intervalos son disjuntas.

Ahora si $f$ no era monotono, habrá algún tipo de $x < y < z$ tal que $f(y)$ no está entre los $f(x)$$f(z)$: $f(y) \ge \max(f(x), f(z))$ o $f(y) \le \min(f(x), f(z))$. Supongamos $f(x) \le f(z) \le f(y)$ (el resto de los casos será similar). Luego de tomar $a < x < y < b < z < c$, $f((a,b))$ y $f((b,c))$ ambos incluyen la $f(z)$, por lo que no disjuntas, la contradicción.