Ultrafilters de Hausdorff

Question

Sé que los ultrafilters de Ramsey son Hausdorff ($\mathcal{U}$ es Hausdorff iff para cada $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $f(\mathcal{U})=g(\mathcal{U})$ y $f\cong_\mathcal{U} g$ $\;$). Así que si asumimos la hipótesis del continuo entonces allí existe ultrafilters de Hausdorff. ¿Me pregunto esto: si asumimos la hipótesis del continuo, entonces existe un ultrafiltro de Hausdorff no Ramsey?

Answer 1

Bajo la hipótesis de continuidad, o incluso el Axioma de Martin, hay Hausdorff ultrafilters que no son selectivos. La siguiente es una buena encuesta por Fremlin de muchos de los asuntos relacionados con:

http://www.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/n09102.pdf

La construcción, en virtud de CH, de tal ultrafilters vuelve a Andreas Blass, en la década de 1970.

La difícil cuestión de si la existencia de Hausdorff ulrafilters puede demostrar en ZFC fue resuelto no hace muchos años. La respuesta es no. Sela es uno de los autores.

Answer 2

Sobre la Existencia de Nonprincipal Aritmética Ultrafilters en ω Fangting Wang Departamento de Matemáticas La universidad de Ciencia y Tecnología de China Hefei, Anhui, 230026 P. R. China Correo electrónico: ftwang@ustc.edu.cn 8 de enero de 2013 Resumen Cada nonprincipal aritmética ultrafilter p ∈ βω−ω es asociado con una aritmética simple modelo Np= {f(p) : f ∈ωω)} ⊃ N, y un real positivo el número es sólo una clase de equivalencia de finito fracciones hecha por aritméticos ultrafilters (en lugar de los números naturales), al igual que la antigua griega de la idea. Es bien sabido que MAcountableimplies la declaración (Q): 1 (Q) Si B ⊂ P(ω) tiene la sfip (fuerte finito intersección de la propiedad) y |B| < 2 -, entonces no es un Q-punto p ⊃ B. En este artículo vamos a probar que la afirmación (Q) implica nuestra Hypoth- fein: Existen nonprincipal aritmética ultrafilters en ω. Palabras clave: la Piedra-ˇCech compactification en ω, Q-punto, aritmética ultrafilter, aritmética modelo D.(2000): 03E35, 03E65, 54D80, 54D35, 03C62 1 Introducción βω, la Piedra-ˇCech compactification del espacio discreto ω, consta de todos los ultrafilters en ω. Para p ∈ βω y f ∈ ωω), la imagen de p en βω bajo la Piedra extensión f : βω → βω está dada por f(p) = {a ⊂ ω : f−1[a] ∈ p}. Para f,g ∈ ωω) y p ∈ βω, f =pg significa que {n ∈ ω : f(n) = g(n)} ∈ p. Un ultrafilter p ∈ βω se llama aritmética [1], si para todo f,g ∈ ωω), (1) f(p) = g(p) ↔ f =pg. 2 (El nonprincipal aritmética ultrafilter fue llamado ∗en [2].) Para todo f,g ∈ ωω) y todos los ultrafilters p ∈ βω siempre tenemos (2) f =pg → f(p) = g(p), pero a la inversa de (2) puede no ser cierto [2]. Debido a (2), un ultrafilter p es aritmética iff para todo f,g ∈ ωω), (3) f(p) = g(p) → f =pg. Estamos interesados en esta clase de ultrafilters ya que cada aritmética ulrtrafilter p se asocia con una aritmética simple modelo Np: Np= {f(p) : f ∈ ωω)}. En Npthe operaciones +,· y h(∈ ωω)) se definen de forma natural: f(p) + g(p) = (f + g)(p), f(p) · g(p) = (f · g)(p), h(f(p)) = (h ◦ f)(p). Npi de una estructura del lenguaje L = {0,+,·} ∪ {f : f ∈ ωω)}. Tenemos la Transferencia entre Npand N (el estándar de la aritmética modelo): Transferencia Para cualquier L∪ {p} la sentencia ϕ(p), Np|= ϕ(p) ↔ {n ∈ ω : N |= ϕ(n)} ∈ p. 3 Especialmente, para cualquier L-sentencia ϕ, Np|= ϕ ↔ N |= ϕ. El justificante de la Transferencia es realizada por una simple inducción sobre la longitud de ϕ(p). El primer paso es el de la propiedad (1) que la aritmética de ultrafilter p tiene. Hay un punto en βω − ω que es la aritmética? Nuestra Hipótesis (AR) es: (AR) Existen nonprincipal aritmética ultrafilters en ω. Un punto p ∈ βω − ω es llamado Q-punto, si para cada partición (ai)i∈wof ω en pares distintos subconjuntos finitos, existe b ∈ q |b ∩ ai| ≤ 1 para todo i ∈ ω. Escribimos sfip para "fuerte finito intersección de la propiedad", y vamos a (Q) ser el declaración: (Q) Si B ⊂ P(ω) tiene la sfip y |B| < 2 -, entonces no es un Q-punto p ⊃ B. Entonces tenemos: Principales Teorema de La declaración (Q) implica la Hipótesis de (AR). Antes de demostrar el teorema principal, tenemos una lista de algunos conocidos los resultados sobre la la existencia de P-puntos: 1◦MAcountableimplies la declaración (Q), y la palabra "Q-puntos" en la declaración (Q) puede ser reemplazado por "selectiva (mínimo, o de Ramsay) ultrafilters" 4 (cf.[3], Th.2). 2◦Si existe una posición dominante en la familia (inww) de cardinalidad ω1, entonces existe un Q-punto [4]. 3◦la hipótesis de la existencia de P-punto más débil de MAcountable, ya que MAcountableimplies que la cardinalidad de cada una de las dominantes de la familia (inww) debe ser de 2 - [5]. 2 Los lemas El siguiente lema 1 mejora de la proposición 2 en [2]. Lema 1 Para cualquier f,g ∈ ωω) y p ∈ βω , si f(p) = g(p) y (f → g)p, entonces f =pg, donde (f → g)pmeans que ∃a ∈ p ∀x,y ∈ a (f(x) = f(y) → g(x) = g(y)). Prueba Suponga que f(p) = g(p) y (f → g)p. Esto es suficiente para mostrar que tanto f h(ni). Por lo tanto ∀ni∈ f[ω]∃k ∈ ω(hk(ni) / ∈ f[ω]). Ahora vamos a A = {ni∈ f[ω] : h(ni) ∈ g[ω] − f[ω]}, B = {ni∈ f[ω]−: al menos k tal que hk(ni) / ∈ f[ω] es incluso}, C = f[ω] − Un − B. La parte restante es la misma que en el caso de que f

Answer 3

El papel"En la Existencia de Nonprincipal Aritmética Ultrafilters en ω" apareció en ACTA MATHEMATICA SINICA CHINO de la SERIE Mar.2006,49(2): 283-288. En este trabajo se demuestra que la declaración (Q) implica la existencia de nonprincipal aritmética (es decir, Hausdorff ) ultrafilters en ω. Declaración (Q): Si B ⊂ P(ω) tiene la sfip (fuerte finito intersección de la propiedad) y |B| < 2^ω, luego hay una Q-punto p ⊃ B. Declaración (Q) es fuertemente más débil de Instrucción (R). Declaración (R): Si B ⊂ P(ω) tiene la sfip (fuerte finito intersección de la propiedad) y |B| < 2^ω, luego hay una Ramsey ultrafilter r ⊃ B. Fangting Wang