Problema extremal con números enteros positivos

Question

Sean $a, b$ dos números enteros positivos tales que $a\sqrt{3}-b\sqrt{7}>0$. Encuentra el valor mínimo de $$ S=(a\sqrt{3}-b\sqrt{7})(a+b). $$ Intento He intentado y supongo que el valor mínimo de $S$ es $(55+36)(55\sqrt{3}-36\sqrt{7})$, donde $(55,36)$ es la solución entera de la ecuación de Pell $3a^2-7b^2=3$.

Answer 1

Aquí hay un boceto de prueba de que el límite inferior más grande para $S$ es $(3/2)(1/\sqrt3 + 1/\sqrt7) = 1.43297\ldots$. Llama a esto $m$. Nota que $(3 - \sqrt3m)/\sqrt3 = (\sqrt7m - 3)\sqrt7 = k$, digamos. Para enteros $a,b$ tales que $\sqrt3a - \sqrt7b > 0$ define $$\delta(a,b) = (\sqrt3a - \sqrt7b)(a + b) - m.$$ Como se señaló en el enlace, no podemos tener $3a^2 - 7b^2 = 1$ o $2$ (considera los residuos módulo $3$ y $7$). Pero, como señaló Piyush Davyanakar, hay infinitos $(a,b)$ tales que $3a^2 - 7b^2 = 3$. Podemos obtener estos de manera más simple con $(a,b) = (1,0), (55, 36), (6049, 3960)$ y en general $a_{n+1} = 110a_n - a_{n-1}$, $b_{n+1} = 110b_n - b_{n-1}$. Esto se puede demostrar junto con $3a_na_{n-1} - 7b_nb_{n-1} = 165$ mediante inducción simultánea. Dado que $3a^2 - 7b^2 \ge 3$ tenemos $$\delta(a,b)(\sqrt3a + \sqrt7b) \ge 3(a + b) - m(\sqrt3a + \sqrt7b) = (3 - \sqrt3m)a - (\sqrt7m - 3)b = k(\sqrt3a - \sqrt7b) > 0.

.$ Por otro lado, $$\delta(a,b)(\sqrt3a + \sqrt7b)^2 = k(3a^2 - 7b^2)$$ y esto es igual a $3k$ para infinitos $(a,b)$. Así que $\delta(a,b)$ puede ser tan pequeño como deseemos.

Answer 2

Necesitamos minimizar $$S = \sqrt3 \left(1+\frac{a}b\right)\cdot \color{blue}{b^2\left(\frac{a}b-\sqrt{\frac73} \right)}$$

Hay infinitos convergentes de la expansión fraccionaria continua regular de $\alpha = \sqrt{\frac73}$ que mantienen los términos en azul acotados, es decir, satisfacen $b^2\left(\frac{a}b-\alpha \right) < \frac12$, y solo los convergentes satisfacen esto. Además, a medida que tomamos convergentes más altos, los términos que no están en azul disminuyen. Por lo tanto, es suficiente buscar el mínimo (o el límite inferior más grande) de estos convergentes.

Tenemos las cotas para los convergentes $a_n/b_n$ $$\frac1{2b_n^2\alpha-1}> \left|\frac{a_n}{b_n} - \alpha\right| > \frac1{2b_n^2\alpha+1} $$ $$\implies \frac{1}{2\alpha -1/b_n^2} > b_n^2\left|\frac{a_n}{b_n} - \alpha\right| > \frac1{2\alpha+1/b_n^2}$$ $$\implies \frac{\sqrt3 (1+a_n/b_n)}{2\alpha-1/b_n^2} > S_n > \frac{\sqrt3 (1+a_n/b_n)}{2\alpha+1/b_n^2}$$

A medida que tomamos mejores convergentes, obtenemos $a_n/b_n \to \alpha$ y $b_n \to \infty$, por lo que el límite inferior más grande es $$S_n \to S_{glb} = \frac{\sqrt3(1+\alpha)}{2\alpha} = \frac{\sqrt3}2 + \frac3{2\sqrt7}\approx 1.432972113$$

Answer 3

Siempre puedes encontrar soluciones $(a,b)$ que den valores más pequeños de $S$.

Considera las soluciones de la ecuación $x^2-21y^2=1$, $(x_1,y_1)=(55,12),(x_2,y_2)=(6049,1320)$ se pueden generar soluciones a partir de $(x_3,y_3)$ usando las soluciones a la solución recursiva $$x_{k+1}=x_1x_k+21y_1y_k\\y_{k+1}=x_1y_k+y_1x_k$$ Las soluciones que satisfacen $3a^2-7b^2=3$ están dadas por $(a_i,b_i)=(x_i,3y_i)$

También podemos escribir $(a,b)$ como $(\sec t, \sqrt\frac{3} {7}\tan t)$. Sustituye esto en la expresión de $S$. $$S=(\sqrt{3}\sec t-\sqrt{7}\sqrt\frac{3} {7}\tan t)(\sec t+\sqrt\frac{3} {7}\tan t)\\ =\sqrt3(\sec t-\tan t)(\sec t+\sqrt\frac{3} {7}\tan t)$$

Ahora, en el mínimo global debemos tener $dS/dt = 0$. Calculamos la derivada y obtenemos $$\frac{dS}{dt}=\frac{\sqrt3}7(\sqrt{21}-1)\sec t(\sec t - \tan t)^2=0 \\ \implies \sec t - \tan t=0.$$ Las soluciones a esto se encuentran en $t=\frac{\pi}2+2n\pi$. En estos puntos $(a,b)=(\infty, \infty)$, por lo tanto no hay un límite superior en las soluciones enteras.