Hay varias formas de escribir la aceleración centrípeta.
PS
¿Hay explicaciones intuitivas para cualquiera de estas tres formas?
Por ejemplo, puedo explicar la forma$$\frac{v^2}{r} = \omega^2 r = v \omega$ considerando el cambio en el vector de velocidad tangencial$v \omega$ multiplicado por la magnitud del vector de velocidad,$\frac{d\theta}{dt} = \omega$.
¿Qué pasa con las otras formas?
Aquí está una manera simple.
Un punto se mueve alrededor de un círculo. Tiene un azul vector de posición y de un rojo vector de velocidad, como este:
El vector de posición se mantiene la misma longitud y gira alrededor y alrededor en un círculo. Debido a que el vector de posición está cambiando, se ha derivado. Que la derivada es la velocidad.
Porque siempre vamos a la misma velocidad, el vector de velocidad de la que también se mantiene la misma longitud. Debido a que la velocidad es siempre de girar 90 grados de la posición, la velocidad, que también está pasando a su alrededor en un círculo. En otras palabras, el vector de velocidad está haciendo exactamente la misma cosa que el vector de posición está haciendo rotar y mantenerse de longitud constante. La única diferencia entre la posición y la velocidad es la que hemos girado 90 grados y se multiplica la longitud por $v/r$.
(Nota: no importa de dónde dibujamos un vector; no importa de donde lo sacamos, el vector es el mismo. Dibujamos el vector de velocidad en el extremo del vector de posición, por lo que se ve como el vector de velocidad se mueve en el espacio. Ese no es el punto. Podemos volver a dibujar el vector de velocidad, por lo que también se inicia en el origen y luego no va a moverse en absoluto. Lo que importa es sólo la magnitud y la dirección. El vector de velocidad, incluso si la hacemos siempre comienzan en el origen, y empieza a girar en un círculo a la misma velocidad, el vector de posición tiene, porque siempre están a 90 grados de distancia. De modo que el vector de velocidad de la que realmente se ve como un nuevo vector de posición, sólo que con diferente magnitud y una dirección de 90 grados por delante.)
La aceleración es la derivada de la velocidad, y sabemos cómo tomar la derivada. Puesto que la velocidad está haciendo exactamente lo mismo que la posición es, que podemos tomar la derivada de la velocidad en exactamente la misma manera que hicimos con la posición.
Girar a la velocidad de 90 grados y obtener un vector apuntó hacia el centro del círculo. Esa es la dirección de la aceleración. Luego multiplicamos la longitud del vector de velocidad por $v/r$, al igual que antes, para obtener la aceleración, que es $v * v/r = v^2/r$.
Imagínese que usted va en un círculo de radio $r$ partir de las tres de la mañana y se dirige hacia las dos de la mañana. Si se toma el tiempo de $T$, entonces su velocidad es $v=2\pi r/T.$
Ahora, si nos fijamos en su velocidad comienza a ir hacia arriba, a continuación, termina yendo a la izquierda, luego hacia abajo, luego hacia arriba otra vez. Su como su vector de velocidad está en un círculo de "radio" $v$, pero a partir de las 12 de la mañana (correspondiente a la velocidad de punto recto) y también se hace un círculo completo en el tiempo $T$ debido a que la velocidad no está apuntando hacia arriba de nuevo hasta que la posición es a las 3 de la mañana de nuevo.
Por lo que podemos calcular la aceleración de la misma manera se calculó la velocidad de $a=2\pi v/T.$
Así que tenemos dos ecuaciones y tienen un $T$ nosotros no queremos en nuestra respuesta final, para resolver la primera ecuación, $v=2\pi r/T,$ $T$ conseguir $T=2\pi r/v.$, a Continuación, enchufe de que en la segunda ecuación de $a=2\pi v/T$ conseguir $a=2\pi v/(2\pi r/v)=v^2/r.$
La primera ecuación, $v=2\pi r/T,$ le parece muy intuitiva y la segunda ecuación es exactamente lo mismo pasando por exactamente la misma razón simplemente no es algo que intuitivamente hacer.
Es bueno ser capaz de aplicar las mismas técnicas y conocimientos físicos a los problemas que son funcionalmente equivalentes, pero menos evidente, por lo que es una buena habilidad para ser capaz de hacer esto.
Si vas a estudiar cálculo vectorial podría derecho de la ecuación de la partícula y tomar la derivada de un par de veces y, a continuación, encontrar la magnitud, y no hay nada de malo con eso. Pero usted debe ser capaz de reconocer que $a=2\pi v/T$ como la tasa a la que los cambios de velocidad.
El pensamiento de la velocidad el espacio como un espacio real significa que usted puede pensar de las condiciones iniciales como la especificación de un punto en una 6d espacio (3 dimensiones para las posiciones iniciales y tres para la velocidad), y que la dinámica, a continuación, se mueve alrededor de ese punto en 6d espacio en forma particular.
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