¿Cómo mostrar $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=0$?

Question

¿Cómo mostrar $\lim{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum{i=1}^{n}\frac{1}{i}=0$?

¿Supongo que es correcto desde $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\log(x)}{x}=0.$ cómo mostrar formalmente?

Answer 1

Aquí es una elemental prueba que $S=\sum_{i=1}^n\frac1i\in O(\sqrt{n})$: romper la suma en dos piezas, $S=S_1+S_2$ donde $S1=\sum{i=1}^{\sqrt{n}}\frac1i$ y $S2=\sum{i=\sqrt{n}}^n\frac1i$. Ahora, $S_1$ es la suma de $\sqrt{n}$ términos de tamaño $\leq 1$, que $S_1\leq\sqrt{n}$; sumilarly, $S_2$ es la suma de $\lt n$ términos de tamaño $\leq\frac1{\sqrt{n}}$, que $S_2\lt\sqrt{n}$; en Resumen, tenemos $S\leq 2\sqrt{n}$. Esto da a $\frac1nS\leq \frac{2}{\sqrt{n}}$, y así que el límite es claramente nula.

Answer 2

Sugerencia: Usar el primer teorema de límite de Cauchy.

Tenga en cuenta que $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0$.

Answer 3

Sugerencia: Utilizar el Teorema de Cesaro observando que $an=1/n,\ \lim{n\to \infty}a_n=0$.

Answer 4

Aquí es una prueba totalmente elemental que sólo depende de la $\frac{k}{2^k} $ \to 0 $k \to \infty $.

Si $sn = \sum{i=1}^n \frac1{i} $,

$\begin{array}\ s{2n} &=\sum{i=1}^{2n} \frac1{i}\ &=\sum{i=1}^{n} \frac1{i} \sum{i=n+1}^{2n} \frac1{i}\ &

Por lo tanto $s_ {2 ^ kn}

También, si 2 ^ kn \le m

$\begin{array}\ sm &=\sum{i=1}^m \frac1{i}\ &=\sum{i=1}^{2^kn} \frac1{i} +\sum{i=2^kn+1}^m \frac1{i}\ &=s{2^kn}+\sum{i=2^kn+1}^m \frac1{i}\ &\le s{2^kn}+(m-2^kn)\frac1{2^kn}\ &\le s{n}+k+1\ \end{matriz} $

Por lo tanto, si $2 ^ kn \le m

Answer 5

Puede ser demostrado que \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i $$} = \gamma, \log n + o (1) $$ $n \to \infty$, donde $\gamma$ es la constante de Euler; entonces por el hecho de que $n^{-1}\log n \to 0$ $n \to \infty$ hemos terminado.