Mostrar que $\int^\infty_0$ $\int^\infty_0$ sin($x^2$+$y^2$) dxdy valor es $\frac{\pi}{4}$

Question

Estoy tratando de demostrar que el valor de $\int^\infty_0$$\int^\infty_0$ el pecado($x^2$+$y^2$) dxdy es $\frac{\pi}{4}$ usando integrales de Fresnel. Estoy teniendo problemas para separando el integrando en el fin de realmente ser capaz de utilizar las integrales de Fresnel. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Respuesta: $\int^\infty_0$ $\int^\infty_0$ el pecado($x^2$+$y^2$) = $\int^\infty_0$ $\int^\infty_0$ el pecado($x^2$)cos($y^2$)+cos($x^2$)pecado($y^2$)dxdy

= $\int^\infty_0$ $\frac{\sqrt2\pi}{4}$ cos$(y^2)$+$\frac{\sqrt2\pi}{4}$ el pecado$(y^2)$ dy ($\frac{\sqrt2\pi}{4}$ viene de lo establecido integrales de Fresnel valores)

= hacer la misma cosa para dy y, a continuación, obtendrá $\frac{\pi}{4}$ como se desee.

Ahora estoy trabajando en hacer esto con coordenadas polares.

Answer 1

En el mundo real de la situación, a menudo es demasiado ideal para considerar todas las interacciones de forma arbitraria de larga distancia. Así que primero debemos suprimir de larga distancia de las interacciones y, a continuación, deje que la supresión de desaparecer. En términos matemáticos, esto significa que podemos entender que la integral

$$ \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \sin(x^{2}+y^{2}) \,dxdy \tag{1} $$

en un caso de summability sentido. Aquí, vamos a considerar el Gaussiano summability, es decir, entendemos (1) por

$$ \lim_{\epsilon \downarrow 0} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \sin(x^{2}+y^{2})e^{-\epsilon(x^{2}+y^{2})} \,dxdy $$

Luego de ello se sigue que

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \sin(x^{2}+y^{2})e^{-\epsilon(x^{2}+y^{2})} \,dxdy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\infty} r \sin(r^{2}) e^{-\epsilon r^{2}} \, dr d\theta \\ &= \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\infty} \sin u \, e^{-\epsilon u} \, du \qquad (u = r^{2}) \\ &= \frac{\pi}{4} \frac{1}{1+\epsilon^{2}}. \end{align*}

Tomando $\epsilon \to 0$ podemos obtener la respuesta deseada.

Answer 2

Recordemos la definición de la convergencia de una inadecuada integral múltiple (de la primera clase). Suponga que una función $f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ es continua en casi todas partes. Considere la siguiente secuencia de conjuntos de $\{E_n\}_{n = 1}^\infty$:

1. Cada una de las $E_n$ abierto es Jordan-medible subconjunto de $\mathbb{R}^m$.
2. $\overline{E_n} \subset E_{n + 1}$ $\cup_{n = 1}^\infty E_n = \mathbb{R}^m.$

Considere la secuencia correspondiente de las integrales de Riemann: $$ I_n = \int\limits_{E_n} f(x) dx, \quad n = 1, 2, \dots$$ Si para cada secuencia $\{E_n\}_{n = 1}^\infty$, satisfactorio 1 y 2, existe un límite finito $I = \lim_{n \rightarrow \infty} I_n$ independiente de la elección de $\{E_n\}_{n = 1}^\infty$, luego de la mala integral múltiple $$\int_\limits{\mathbb{R}^m}f(x)dx$$ converges (exists) and is equal to $I$. De lo contrario (si este límite es infinito o no existe), esta integral diverge. Para aplicar esta definición a otros dominios $E \subset \mathbb{R}^m$ (en el caso de $E$ es el primer cuadrante) en lugar de $f$ consideremos la siguiente función $$F(x) = \begin{cases}f(x), &x \in E,\\ 0, &x \in \mathbb{R}^m \setminus E.\end{cases}$$ Entonces $$\int_\limits{E}f(x)dx \triangleq \int_\limits{\mathbb{R}^m}F(x)dx.$$ En su caso, considere la posibilidad de dos secuencias de $\{E_n\}_{n = 1}^\infty$ $\{E'_n\}_{n = 1}^\infty$ satisfactorio 1 y 2: $$ E_n = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid |x| + |y| < n\},\ E'_n = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 2 \pi n\}, n \in \mathbb{N}.$$ Para la primera secuencia, tenemos: $$I_n = \iint\limits_{E_n}F(x, y)dxdy = \int_0^n dx\int_0^n\sin(x^2+y^2)dy = 2\int_0^n \sin{x^2} dx\int_0^n\cos{y^2}dy,$$ y por lo tanto (utilizando integrales de Fresnel) tenemos $\lim_{n \rightarrow \infty} I_n = \frac{\pi}{4}.$

Para la segunda secuencia (usando coordenadas polares) tenemos: $$I_n = \iint\limits_{E'_n}F(x, y)dxdy = \int_0^\frac{\pi}{2} d\varphi\int_0^{\sqrt{2\pi n}} r\sin(r^2)dr = \frac{\pi}{4}(1 - \cos 2\pi n) = 0,$$ y, por tanto,$\lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0$, lo que significa que este límite depende de la elección de una secuencia y, por lo tanto, por definición, esta integral diverge.

Observe también que para impropio multple integrales no existe la noción de convergencia condicional, porque de la siguiente teorema:

Suponga que una función $f \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ $(m \geq 2)$ es continua en casi todas partes. A continuación, los siguientes dos integrales $$1. \int_\limits{\mathbb{R}^m}f(x)dx \qquad 2. \int_\limits{\mathbb{R}^m}|f(x)|dx $$ convergen o divergen de forma simultánea.

Answer 3

¿Funciona así? $$\int{0}^{\infty}\int{0}^{\infty} \sin(x^{2}+y^{2}) \,dx\ dy=\Im\left{\int{0}^{\infty}\int{0}^{\infty} e^{i(x^2+y^2)} \ dx \ dy\right}=\Im\left{\int{0}^{\infty}e^{i x^2} \ dx\int{0}^{\infty} e^{i y^2} \ dy\right}=\frac{\pi}{4}$$