Valor máximo de $ab+bc+ca$ dado que $a+2b+c=4$

Question

Pregunta:

Encontrar el valor máximo de $ab+bc+ca$ de la ecuación,
$$a+2b+c=4$$

Mi método:

He intentado hacer la ecuación cuadrática (en $b$) y luego poner discriminante mayor que o igual a $0$. No ayuda que da un valor mayor que la respuesta.

Gracias de antemano por la solución.

Answer 1

Sin utilizar cálculo:

Sustitución de $c=4-2b-a$, obtenemos $$ab+bc+ca=ab+(a+b)(4-2b-a)=4(a+b)-(a+b)^2-b^2$$ and since $ f(x)=4x-x^2=4-(x-2)^2$ has maximum at $(2,4)$, we have that $\max{a+b}=2$ so $$ab+bc+ca\le4-b^2$$ and the minimum value of $b$ is zero, yielding a maximum value of $4$.

Answer 2

Sugerencia: Enchufar $$c=4-a-2b$ $ en su término dado que

$$f(a,b)=-a^2+4a-2ab-2b^2+4b$$ and now differentiate this with respect to $ a, $ b

Answer 3

Puede usar multiplicadores de Lagrange. Obtendrás:

$$F(a,b,c,\lambda) = ab + bc + ca - \lambda(a+2b+c-4)$$

Tomar las derivadas parciales y equivalen a cero.

$$0 = F_a = b + c - \lambda$$ $$0 = F_b = a + c - 2\lambda$$ $$0 = F_c = a + b - \lambda$$

A continuación:

$$0 = F_a + F_c - F_b = b + c - \lambda + a + b - \lambda - a - c + 2\lambda = 2b$$

Por lo tanto debemos tener $b=0$. Esto impulsa que el $c = a = \lambda$ y así conseguimos que $a=c=\lambda = 2$

Así que conseguir que el máximo ocurre en $(a,b,c) = (2,0,2)$% y su $4$.

Answer 4

$a=2$, $b=0$ Y $c=2$ vamos a llegar a un valor $4$.

Se le demuestra que es un valor máximo.

De hecho, tenemos que demostrar que $$ab+ac+bc\leq4\left(\frac{a+2b+c}{4}\right)^2$ $ o $$(a-c)^2+4b^2\geq0,$ $, que es evidente.

Answer 5

$ab + bc + ac = a(2 - \frac12a -\frac12c) + c(2 - \frac12a - \frac12c) + ac\= 2a - \frac12a^2 + 2c - \frac12c^2$

$(2a - \frac12a^2)$ puede ser demostrado que un valor máximo de $2$ % real $a$. Sigue que $(2a - \frac12a^2) + (2c - \frac12c^2)$ tiene un valor máximo de $4$ % real $a$y $c$. Como se observa en otras respuestas, se obtiene el valor de $4$ $(a, b, c) = (2, 0, 2)$.