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Question

Tengo que encontrar la suma de las siguientes series:$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3}{n!}$ $

Sé cómo probar la convergencia de esta serie, pero cómo encuentro la suma. No puedo usar las propiedades de derivación o integración de la serie, tengo que hacerlo usando la definición de que una serie converge si su secuencia de suma parcial converge.

Answer 1

En general, si

PS

Entonces

PS

En su caso,$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ implica que$$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 a_n z^n = \frac{d}{dz} \left [z \frac{d}{dz} \left [z \frac{d}{dz} f(z) \right ]\right ]$. Toma los derivados, establece$a_n = 1/n!$. El resultado es

PS

Answer 2

Ampliando el comentario de @ Winther, puedes escribir

$$ \begin{align} \sum_1^{\infty} \frac{n^3}{n!}&=\sum_1^{\infty} \frac{n (n - 1) (n - 2) + 3 n (n - 1) + n}{n!}\\\\ &=\sum_3^{\infty} \frac{n (n - 1) (n - 2)}{n!}+3\sum_2^{\infty} \frac{n(n - 1) }{n!}+\sum_1^{\infty} \frac{n}{n!}\\\\ &=\sum_3^{\infty} \frac{1}{(n-3)!}+3\sum_2^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}+\sum_1^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}\\\\ &=\sum_0^{\infty} \frac{1}{n!}+3\sum_0^{\infty} \frac{1}{n!}+\sum_0^{\infty} \frac{1}{n!}\\\\ &=5e \end {align} $$

desde $$ \ sum_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} = e ^ x, \ quad x \ in \ mathbb {C}. $$

Answer 3

Las otras respuestas se han dado diferentes formas de resolver el problema a mano. Voy a continuación sólo tiene que añadir algunas notas sobre cómo se puede evaluar general sumas de dinero en la forma $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{n!}$ donde $k$ es cualquier entero usando sólo manipulaciones algebraicas (ya que usted dijo que usted no puede utilizar derivados). Estoy sin embargo, suponiendo que ya sabemos que $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = e$.

Hemos de comenzar señalando que siempre podemos escribir $n^k$ en el formulario

$$n^k = C_1n + C_2n(n-1) + \ldots + C_kn(n-1)\cdots(n-k+1) \equiv \sum_{j=1}^{k} C_j{n\choose j}j!$$

donde $C_i$ son algunos de los números reales (ver más abajo para una simple algoritmo para calcular estos números). Por ejemplo

$$n^2 = n(n-1) + n$$ y $$n^4 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 6 n (n - 1) (n - 2) + 7 n (n - 1) + n$$

La razón de esta forma es útil es que podemos muy fácilmente evaluar las sumas

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{n(n-1)\cdots(n-i)}{n!} = \sum_{n=i+1}^\infty \frac{1}{(n-i-1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} = e$$

donde simplemente hemos cambiado la suma del índice de a $m = n-i-1$ en el último paso. La suma anterior no depende de la $i$ a todos por lo que la suma somos, después se convierte en

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ C_1n + C_2n(n-1) + \ldots + C_kn(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} \\= C_1 e + C_2 e + \ldots + C_k e = \left(\sum_{j=1}^k C_j\right) e$$

así el problema se reduce a encontrar el $C_i$'s.

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Aquí hay un método sencillo para calcular el $C_i$'s. Permite llevar a $k=3$ como un ejemplo y empiece por escribir $$n^3 = \color{blue}{1}n^3$$ Ahora restamos $\color{blue}{1}n(n-1)(n-2)$ para obtener $$n^3 - \color{blue}{1} n(n-1)(n-2) = \color{red}{3} n^2 - 2n$$ por lo $C_2 = \color{red}{3}$. Ahora resta $\color{red}{3}n(n-1)$ para obtener $$n^3 - n(n-1)(n-2) - \color{red}{3}n(n-1) = \color{pink}{1} n$$ por lo $C_1 = \color{pink}{1}$. Ahora hemos demostrado que $$n^3 = \color{blue}{1}n(n-1)(n-2) + \color{red}{3}n(n-1) + \color{pink}{1} n$$ entonces, utilizando la fórmula anterior tenemos $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3}{n!} = (\color{blue}{1}+\color{red}{3}+\color{pink}{1})e = 5e$$

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Si quieres leer más acerca de esto, los números de $C_j$ son los llamados números de Stirling del segundo tipo, $C_j \equiv S(k,j)$, y la suma de $\sum_{j=1}^k C_j = \sum_{j=1}^k S(k,j) \equiv B_k$ son los llamados a $k$'th Campana número (y es siempre un número entero). El uso de este el resultado final puede ser compacta escrito

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{n!} = eB_k$$

que se conoce como Dobinski de la fórmula. Sabiendo esto, existen incluso un método más simple para calcular la Campana de los números, utilizando un "triángulo de Pascal" enfoque, véase, por ejemplo, esta página.