Resolviendo una desigualdad factorial sin prueba y error

Question

¿Cómo resolver la siguiente desigualdad para n, sin ensayo y error, y suponiendo que n sólo puede ser un número entero?

La desigualdad es $(n+1)!-1>10^9$.

Quiero encontrar el mínimo valor de n tal que $(n+1)!-1>10^9$. ¿Cómo se puede hacer esto sin graficar la desigualdad, o el uso de una calculadora? Me imaginé que fuera a tirar de ensayo y error en una calculadora, pero yo deseo una solución más elegante que llega a la respuesta algebraicamente, y sin una calculadora o un gráfico. Alguna sugerencia?

Answer 1

Un camino posible sería utilizar superior y límite inferior para la función factorial. Hay, por supuesto, muy precisos, pero usted dijo que usted no desea utilizar una calculadora, así que nos tomamos simple:

$$\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\leq n!\leq n^n$$

(Os dejo las pruebas simples para usted, ya que son bastante interesantes).

Entonces primero nos quiere resolver el más fácil inecuaciones $m!>10^9$. Vemos enseguida que debemos tener $m>9$. Esto ya le da un punto de partida. Un límite superior en el otro lado es de 20. Aún es algo bruteforce.

Una mejor aproximación es $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ que le ayudará más para conseguir una buena suposición de arranque.

Answer 2

Si sabe que$10!$ está entre$3$ y$4$ millones, entonces parece que debería ir tres términos más en la secuencia factorial (multiplicando por$11$,$12$,$13$) para primero exceder$1$ billones.

Answer 3

Observar que entre el$1$$10$, multiplicando $1$ y $10$, $2$ y $9$, etc., todos los pares de producto aporta, al menos, un factor de $10$. Por lo tanto $10!$ al menos $10^5$ (pero, por supuesto, usted puede deducir fácilmente que en realidad debe de ser de al menos $10^6$). Luego multiplicando por $11$ $12$ contribuye con alrededor de $10^2$. Ahora sabemos que $12!>10^8$. Por lo que el valor más grande posible de $n+1$ ahora $13$, y usted sólo tiene que tratar de $12!$ a mostrar que es de hecho menor que $10^9$. Un mínimo de fuerza bruta!