$X\subset \mathscr{P}(X)$

Question

Que $X$ ser un conjunto no vacío. Si $X\subset \mathscr{P}(X)$, ¿qué podemos decir sobre el conjunto de $X$?

Por ejemplo: $$X={\emptyset}$$ $$X={\emptyset,{\emptyset}}$$ $%$ $X={\emptyset,{\emptyset},{\emptyset,{\emptyset}}}$

enfoque: creo que el vacío debe ser un elemento de $X$.

Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

$X \subset \mathscr{P}(X)$ significa que cada elemento de $X$ es un subconjunto de $X$, que $$\forall x \in X: \forall y \in x: y \in X$$ This means by definition that $X$ is a transitive set, so called because the relation $\in$ is transitive on $X$, según lo expresado por esta fórmula.