Qué $a>0$ existe exactamente una solución en $[0,a+b]$ a la ecuación de $$x=a\sin x+b$$ for all $b # > 0$.
Gracias
Eitan.
Respuesta
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Deje $f(x)=a\sin x+b-x$.
Aquí te muestro que si $a>1$, entonces existe un $b>0$ para el cual la ecuación de $f(x)=0$ tiene múltiples soluciones en $[0,a+b]$.
Deje $\bar{x}(\varepsilon)=2\pi-\varepsilon$ donde $\varepsilon\in(0,\pi)$. Tenemos $$f(\pi)=b-\pi>0,\qquad f(\bar{x}(\varepsilon))=b-a\sin(\varepsilon)+\varepsilon-2\pi\leq0$$ and $$f(2\pi)=b-2\pi\geq 0 $$
si $$2\pi\leq b\leq a\sin(\varepsilon)-\varepsilon+2\pi.$$ As long as $$a\geq \frac{\varepsilon}{\sin\varepsilon}=\bar{a}(\varepsilon),$$ there exists such a $b$, and by the intermediate value theorem there must be at least two solutions to $f(x)=0$ in $(\pi,2\pi]\subseteq[0,a+b]$.
Por último, tenga en cuenta que $\bar{a}(\varepsilon)>1$ todos los $\varepsilon\in (0,\pi)$ mientras $\lim_{\varepsilon\to0^+}\bar{a}(\varepsilon)=1$.
Ahora me muestran que la si $a\in(0,1]$, entonces la solución es única para todos los $b>0$.
Para todos los $x$ tenemos $$f'(x)=a\cos x-1\leq 0$$
con desigualdad estricta para todos los $x$ si $a<1$ y desigualdad estricta al $a=1$ a todos pero en puntos aislados ($x=0,2\pi,\ldots$). Por lo tanto $f$ es estrictamente decreciente en a $[0,\infty)$.
Para todos los $b>0$ hemos $$f(0)=b>0$$ and $$f(a+b)=a\sin(a+b)-a\leq 0. $$
Por el teorema del valor intermedio, existe al menos una solución a $f(x)=0$ $[0,a+b]$ y es único porque $f$ es estrictamente decreciente.
