Sobre la suma directa de anillos

Question

Dejemos que $A,B$ ser anillos. Supongamos que $$A\cong A\oplus B$$ ¿Puedo concluir que $B=0$ ¿el anillo trivial? Si es así, ¿cómo se puede demostrar? Gracias

Answer 1

No: toma $A$ para ser el anillo de subconjuntos de $\Bbb N$ con $\cap$ como producto, $\triangle$ (diferencia simétrica) como suma, $\Bbb N$ como $1$ y $\varnothing$ como $0$ y tomar $B$ para ser el anillo de dos elementos. De forma equivalente, pero quizá más transparente, tomemos $A=(\Bbb Z/2\Bbb Z)^\omega$ con las operaciones definidas por componentes, y $B=\Bbb Z/2\Bbb Z$ .

Para ello, puede tomar $B=A$ : $A\oplus A\cong A$ .

Answer 2

No, esto no es cierto. Por ejemplo, dejemos que $A=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ sea la suma directa de infinitas copias de $\mathbb{Z}$ y que $B=\mathbb{Z}$ Entonces $A\cong A\oplus B$ (por ejemplo, podemos asignar $(n_1,n_2,\ldots)\in A$ al par ordenado $((n_2,n_3,\ldots),n_1)\in A\oplus B$ ) pero $B\neq 0$ .