$p\mapsto c_p$ es continua donde $p\in S^1$ y $c\in \mathbb{R}$ .

Question

Sea $f: S^1\to S^1$ sea un difeomorfismo. Consideremos el mapa de derivadas $$ Df_p:T_p S^1\to T_{f(p)}S^1,\ (p,ip)\mapsto (f(p),ic_pf(p)). $$ decimos $f$ conserva la orientación si $p\in S^1,\ c_p>0$ . Ahora quiero probar $p\mapsto c_p$ es una función continua. ¿Alguien puede dar alguna pista?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $TS^1\cong S^1\times\mathbb{R}$ como se indica en los comentarios. El difeomorfismo toma los puntos en $TS^1$ a $S^1$ y el espacio tangente en cada punto a la $\mathbb{R}$ componente. Se "giran las tangentes" para obtener el cilindro. Entonces la proyección sobre la segunda coordenada es continua. En este punto puedes dividir por $|f(p)|$ que sabes que nunca es cero.

Answer 2

También puede demostrar que esto es cierto a nivel local.

Sea $(U,\phi)$ sea un gráfico suave para $p$ y $(V,\psi)$ un gráfico suave para $f(p)$ . Como la continuidad es una condición local, basta con demostrar que su mapa es continuo en $U$ .

Podemos escribir $F=\psi\circ f\circ\phi^{-1}$ para la representación de coordenadas, que es un difeomorfismo de $\phi(U)\subset\mathbb{R}$ a $\psi(V)\subset\mathbb{R}$ . Entonces para $\phi(q)\in\phi(U)$ , su $c_q$ es sólo $\frac{dF}{dx}(\phi(q))$ . Se trata de la composición de mapas continuos, por lo que es continua.

Obsérvese que esto funciona porque el espacio tangente $T_{f(q)}S^1$ es unidimensional, por lo que $c_p$ es sólo $$ \frac{\lvert df_q(v)\rvert}{\lvert v\rvert}$$ para cualquier distinto de cero $v\in T_qS^1$ .