Mi prueba para "$\Gamma =\{X\in \mathbf{R}^{n\times n} \mid X \succeq 0, \text{Tr}(X)=1\}$ es compacto"

Question

Este problema viene de:

Cómo probar la compacidad del conjunto de Hermitian positivo semidefinite matrices

En definitiva, queremos demostrar

$$\Gamma =\{X\in \mathbf{R}^{n\times n} \mid X \succeq 0, \text{Tr}(X)=1\}$$ es compacto.

Puedo probar esto en un escueto manera:

$\Gamma$ es la intersección de la PSD de cono, que es convexo y cerrado, y el hyperplane $\{X \mid \text{Tr}(X)=1\}$, lo $\Gamma$ es compacto.

Por lo que se ve como el siguiente gráfico:

Si no, que parte debo decir más?

Answer 1

Necesita algún tipo de argumento más para demostrar acotamiento, en mi opinión. Propongo este.

Dado que las matrices son (simétrica) positivo semidefinite, sus valores propios son positivos. Dado que la traza es $1$, todos los valores propios son en $[0,1]$. Por lo tanto, si tenemos en cuenta que el operador de la norma en $\Bbb R^{n\times n}$ $$\lVert A\rVert_2=\sup_{v\ne 0}\frac{\lVert Av\rVert}{\lVert v\rVert}$$ su conjunto es acotado con respecto a la misma desde $\lVert A\rVert_2\le\max\limits_{\lambda\in\operatorname{Spec A}}\lvert \lambda\rvert$.

Además: el Hecho es que de alguna manera necesita probar que su subespacio no se corta el cono de mala manera (hay que recordar que no sólo ellypses son secciones cónicas, pero parábolas e hipérbolas también!)