Encontrar todas las soluciones de una ecuación exponencial

Question

Encuentra el producto de todas las soluciones de $\displaystyle\left(\frac{x^2-5x}{6}\right)^{x^2-2}=1$ veces el número de soluciones.

No sé cómo resolver una ecuación exponencial, así que he hecho lo siguiente:

1. Si elevas algo a la potencia $0$ obtienes $1$, así que:
   $$\begin{align*} &x^2 - 2 = 0\\ &(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) = 0\\ &x = \pm \sqrt{2} \end{align*}$$

2. Si el resultado es $1$ entonces $\displaystyle\frac{x^2-5x}{6}=\pm1$. Cuando es igual a $1$ el exponente puede ser cualquier cosa, si es $-1$ debe ser par. Entonces:

   • $x^2-5x-6=0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 6$

   • $x^2 - 5x + 6 = 0$, $x_1 = 2 \Rightarrow x_2 = 3$ pero $x=3$ no es aceptable porque $x^2-2 = 7$, impar.

Entonces las soluciones son: $S=\{-\sqrt{2}, -1, 2, \sqrt{2}, 6\}$, y la respuesta al problema es $120$.

¿Es correcto mi trabajo? ¿Hay algún otro método (más simple, complicado)?

EDITAR: Wolfram|Alpha no está de acuerdo conmigo:
Resultados de Wolfram|Alpha

Answer 1

La forma más sencilla de resolver tal ecuación es tomando el logaritmo. Obtendrás

$$(x^2-2)\log\left(\left|\frac{x^2-5}{6}\right|\right)=0$$

y se necesita el valor absoluto para evitar que el logaritmo tome valores complejos. Entonces uno tiene que resolver

$$x^2-2=0$$

y

$$\frac{x^2-5}{6}=\pm 1.$$

Esto proporcionará el conjunto completo de soluciones.

Answer 2

El hecho es que la función $a^x$ está definida solo cuando $a>0$. Entonces, primero debes escribir $\frac{x^2-5x}{6}\ge0$, entonces $x\in(-\infty;0)\cup(5;\infty)$. Por eso, de las soluciones que obtuviste solo quedan $x_1=-1$, $x_2=-\sqrt{2}$ y también $x_3=6$. Entonces, el conjunto de soluciones es $\{-\sqrt2, -1, 6\}$ y la respuesta a tu problema es $18\sqrt2$.