Obtener la diagonal de un cuadrilátero descrito por vectores

Question

Tengo el siguiente problema:

en el espacio 2D.
Tengo un cuadrilátero que tiene 2 de los ángulos = 90 grados
Y 2 vectores no unitarios h1 y h2. (Tienen longitud y dirección)
Nosotros, además, tenemos el punto P donde comienza h2 y diag.

Necesito encontrar el vector diagonal diag. Necesito una solución que utilice sólo operaciones vectoriales (sin funciones trigonométricas) si es posible.

Answer 1

Observación: la cosa que has llamado "diag", que yo llamaré $2v$ es el diámetro de un círculo. Así, $v$ denota el radio vector. Llamemos al extremo izquierdo del diámetro -- el punto de partida de $h_2$ -- por el nombre $P$ y el extremo derecho por el nombre $S$ .

El círculo con diámetro $PS$ también contiene el punto final $Q = P + h_2$ del vector $h_2$ . ¿Por qué? Porque un triángulo inscrito en una circunferencia con dos vértices en los extremos de un diámetro tiene un ángulo recto en el tercer vértice, y a la inversa, da un triángulo rectángulo, una circunferencia construida de forma que la hipotenusa del triángulo sea su diámetro contendrá el tercer vértice (en el que el ángulo será, por supuesto, de 90 grados, por la afirmación anterior.)

Además, al mover el vector que has llamado $h_1$ para que comience en $P$ y termina en el punto $R = P + h_1$ obtenemos otro triángulo rectángulo $PRS$ erigido en la diagonal.

Si escribimos los puntos medios de $PQ$ y $PR$ podemos expresar las bisectrices de los segmentos $PQ$ y $PR$ , encontrar su intersección, $C$ y luego $v = C - P$ y la diagonal que buscas es $2v$ . Hagámoslo.

$M_1 =$ punto medio de $PQ = \frac{P+Q}{2} = P + \frac{1}{2} h_2$ .

$M_2 =$ punto medio de $PR = P + \frac{1}{2} h_1$ .

Ahora \begin {align} (C - M_1) \cdot h_2 &= 0, \text { porque $C$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de $PQ$ } \\ (C - M_2) \cdot h_1 &= 0 \text {de manera similar} \end {align}

Sustituyendo, y utilizando el hecho de que $C - P = v$ por la definición de $v$ obtenemos

$$(C - (P + \frac{1}{2} h_2)) \cdot h_2 = 0 \\ (C - (P + \frac{1}{2} h_1)) \cdot h_1 = 0$$ así que $$((C - P) - \frac{1}{2} h_2) \cdot h_2 = 0 \\ ((C - P) - \frac{1}{2} h_1) \cdot h_1 = 0$$ así que $$(v - \frac{1}{2} h_2) \cdot h_2 = 0 \\ (v - \frac{1}{2} h_1) \cdot h_1 = 0$$ así que $$v \cdot h_2 = \frac{1}{2} h_2 \cdot h_2 \\ v \cdot h_1 = \frac{1}{2} h_1 \cdot h_1$$ Ahora escribe $$v = a h_1 + b h_2$$ y enchufar para resolver. Para simplificar, dejemos que $q_{ij} = h_i \cdot h_j$ . Entonces $$(a h_1 + b h_2) \cdot h_2 = \frac{1}{2} h_2 \cdot h_2 \\ (a h_1 + b h_2) \cdot h_1 = \frac{1}{2} h_1 \cdot h_1$$

$$a q_{12} + b q_{22} = \frac{1}{2} q_{22} \\ a q_{11} + b q_{21} = \frac{1}{2} q_{11}$$ En forma de matriz, eso dice que $$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} q_{11} & q_{22} \end{bmatrix}$$ así que $$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} q_{11} & q_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$ del que se puede recuperar $v$ y luego la diagonal, que es $2v$ .

Estoy seguro de que hay una manera más fácil, pero esto te lleva allí.

OBSERVACIONES ADICIONALES: Supongamos que dejamos $k_1$ sea $h_1$ con una rotación de 90 grados en el plano, y de forma similar para $k_2$ y $h_2$ . (Si $h_1 = [s, t]$ entonces $k_1 = [-t, s]$ .) Entonces podemos escribir $v = c k_1 + d k_2$ . Resolviendo ahora $$v \cdot h_2 = \frac{1}{2} h_2 \cdot h_2 \\ v \cdot h_1 = \frac{1}{2} h_1 \cdot h_1$$ se vuelve fácil: $$(c k_1 + d k_2) \cdot h_2 = \frac{1}{2} h_2 \cdot h_2 \\ (c k_1 + d k_2) \cdot h_1 = \frac{1}{2} h_1 \cdot h_1$$ se convierte en $$c = \frac{1}{2} \frac{h_2 \cdot h_2}{k_1 \cdot h_2} \\ d = \frac{1}{2} \frac{h_1 \cdot h_1}{k_2 \cdot h_1}$$ y así $$v = \frac{1}{2} \frac{h_2 \cdot h_2}{k_1 \cdot h_2} k_1 + \frac{1}{2} \frac{h_1 \cdot h_1}{k_2 \cdot h_1} k_2.$$ No hay nada más vectorial que eso.

Nota: Resulta que por identidades trigonométricas, $k2 \cdot h_1 = - k_1 \cdot h_2$ por lo que la expresión anterior se simplifica un poco: $$v = \frac{1}{2} \frac{1}{k_1 \cdot h_2} \left( (h_2 \cdot h_2) k_1 - (h_1 \cdot h_1) k_2 \right).$$

Y como lo que quieres es $2v$ incluso puede deshacerse de la $\frac{1}{2}$ :

$$diag = \frac{1}{k_1 \cdot h_2} \left( (h_2 \cdot h_2) k_1 - (h_1 \cdot h_1) k_2 \right).$$