Demostrando que $f(\sup A) = 0$ si $f$ es continua.

Question

Tengo el siguiente problema en el conjunto de problemas (primer curso de Análisis Real):

Deje $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(0) < 0$$f(1)>0$. Deje $A = \{x \in [0,1]: f(x) < 0\}$$s = \sup A$. Demostrar que $f(s) = 0$.

Creo que debería usar el Interemidiate Teorema del Valor. Aunque tengo otro [similar] y me gustaría saber si todo está bien.

$\textbf{My attempt}$: Dividir el problema en dos casos.

Caso $1$: supongamos que $f(s) < 0$. Desde $s < 1$, en este caso, y utilizando el hecho de que $f$ es coutinuous, podemos encontrar $\delta > 0$ tal que $|f(x) - f(s)| < \frac{-f(s)}{2}$ siempre $|x - s| < \delta$, señalando que $\frac{-f(s)}{2} > 0$. Bien, si este es el caso, entonces $f(x) < 0$ por cada $x \in [0,1)\cap (s-\delta, s+\delta)$ y podemos encontrar $x>s$ tal que $x \in A$, una contradicción.

Caso $2$: supongamos que $f(s) > 0$. Un argumento similar se nos da que nos podemos encontrar en un barrio entero de $s$ tal que $f(x) > 0$ todos los $x$ en este barrio. Así, podemos encontrar una pequeña cota superior para $A$, una contradicción.

El argumento parece justo? Cómo mejorar? Muchas gracias de antemano!

Answer 1

La prueba está bien, pero eso es hacer trampa. ;-) De hecho, este es el teorema del valor intermedio, en la forma

Si $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ es continua, $f(a)<0$$f(b)>0$, entonces no existe $c\in(a,b)$$f(c)=0$.

Esto puede verse fácilmente en el equivalente al teorema del valor intermedio.

Desde $f(0)<0$ existe $\delta_0>0$ tal que, para $x\in[0,\delta_0)$, $f(x)<0$. En particular, $s>\delta_0/2>0$. Set $c=\delta_0/2$.

Desde $f(1)>0$ existe $\delta_1>0$ tal que, para $1-\delta_1<x<1$, $f(x)>0$. Set $d=(1-\delta_1)/2$.

Podemos concluir que el $c<s<d$.

Supongamos $f(s)<0$. Entonces existe $\delta>0$ tal que $(s-\delta,s+\delta)\subseteq(c,d)$ y, por $s-\delta<x<s+\delta$, $f(x)<0$. Por lo tanto,$(s+\delta/2)<0$: desde $s<s+\delta/2$, esto se contradice $s$ ser una cota superior de a $A$.

Supongamos $f(s)>0$. Entonces existe $\delta>0$ tal que $(s-\delta,s+\delta)\subseteq(c,d)$ y, por $s-\delta<x<s+\delta$, $f(x)>0$.

Por otro lado, desde la $s=\sup A$ existe $y\in A$$y>s-\delta$. Una contradicción a $s$ siendo la menor cota superior de a $A$.