Ningún homomorfismo no trivial a un grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo topológico compacto de Hausdorff, y sea $H$ sea un grupo libre de torsión que satisface la condición de ascendente, es decir, no hay cadenas infinitas estrictamente ascendentes $H_1<H_2<...$ de subgrupos de $H.$

Demostrar que no existe ningún homomorfismo no trivial de $G$ en $H.$

Nota: no se considera ninguna topología en $H$ y "homomorfismo" significa simplemente "homomorfismo de grupo".

Answer 1

Es fácil ver que tal $H$ está generada finitamente y el resto se deduce de Teorema de Nikolov-Segal.

Sin embargo, me pregunto si hay una manera de probarlo que no sea de alta tecnología.