Encontrar un límite de la secuencia recursiva

Question

La tarea es demostrar la secuencia de convergencia y encontrar un límite. $x_0=0$ $x_1=1$ $x_{n+1}=\frac {x_n + n \cdot x_{n-1}} {n+1}$

He calculado que algunos de los valores de una secuencia para construir una idea de los datos: elementos, incluso con índices convergen de 0 a ~0.68, y de los elementos impares índices convergen desde 1 hasta el mismo valor.

Es obvio que la secuencia no es monótona, por lo tanto tuve que pegar con un teorema de Cauchy. Pero me llevó a ninguna parte: $|x_{n+p}-x_{n}| < | \frac {n \cdot x_{n-1}} {n + 1} + 2 \cdot \sum_{i=n}^{2n-2} x_i + { \frac {x_{2n-1}} {2n} } |$ (Tengo allí, bajo el supuesto de que $n = p$.)

Luego probé con otro movimiento: $x_{n+1} - x_{n} = \frac {x_n + n \cdot x_{n-1}} {n+1} - x_n = $
$= \frac {-n \cdot ( x_n - x_{n-1})} {n+1}$
$x_{n} - x_{n-1} = \frac {(1-n) \cdot (x_{n-1} - x_{n-2})} {n}$

Parece que el progreso, pero todavía no sé cómo ir a la siguiente.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Si escribe $dn=x{n+1}-x_n$, usted tiene $dn=-\frac n{n+1}d{n-1}$

Así $d_n=(-\frac n{n+1})(-\frac {n-1}{n})(-\frac {n-2}{n-1})\ldots\frac12d_0=\frac{(-1)^n}{n+1}d_0=\frac{(-1)^n}{n+1}$

Entonces $x_n=x0+\sum\limits{k=0}^{n-1}dk=\sum\limits{k=0}^{n-1}d_k$

Y $\lim\limits_{n\to\infty}xn=\sum\limits{n=0}^\infty dn=\sum\limits{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$ que es una expansión conocida de $\log 2$.

Answer 2

como le han computado $x_{n+1}-x_n=-n(xn-x{n-1})/(n+1)$

tenemos $(n+1)(x_{n+1}-x_n)=-n(xn-x{n-1})$

entonces denotar $g(n) = n(xn-x{n-1})$

tenemos $g(n+1) = -g(n)$

entonces $g(n) = (-1)^{n-1}g(1) = (-1)^{n-1}$

así $n(xn-x{n-1}) = (-1)^{n-1}$

$xn-x{n-1} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

$x_n-xm = \sum{i=m+1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}}{i}$

Ahora sigue a convergencia de $x_n$ de convergencia de $\sum{\frac{(-1)^n}{n}}$ y $x_n$ converge a $\ln{2}$

Answer 3

La secuencia converge a $\log 2$.

Inductivo puede mostrar lo siguiente:

a. $x_{2n}$ va en aumento,

b. $x_{2n-1}$ está disminuyendo,

c. $x_{n+1}-x_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$.

d. $xn=\displaystyle\sum{k=0}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\to\log 2$.