Sobre la naturaleza simétrica de la función de Green.

Question

¿Cuál es la importancia de que la función de Green sea simétrica? ¿Cómo puedo entender esto intuitivamente? Gracias de antemano.

Answer 1

La importancia de la simetría en la función de Green es que se puede utilizar para construir funciones de Green utilizando la función de Green del espacio libre como base.

Un ejemplo del uso de la propiedad simétrica es demostrar que la fórmula de Poisson $u$ en el semiespacio $\mathbb{R}^n$ pertenece al espacio \begin{equation*} C^{\infty}(\mathbb{R}^n_+)\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n-1}) \end{equation*> (es decir, funciones suaves en el semiplano extendidas a $L^{\infty}$ en los números reales de $n-1$ dimensiones).

La intuición detrás de la simetría de la función de Green proviene de funciones pares/impares. Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función continuamente diferenciable, entonces podemos escribir dos funciones \begin{equation*} y(x)=f(x)-f(-x) \\ z(x)=f(x)+f(-x) \end{equation*> con condiciones iniciales $y(0)=0$ y $z'(0)=0$. Observa que podemos derivar condiciones de frontera de tipo Dirichlet y Neumann cuando restamos imágenes especulares de una función. Esto conduce a la condición de simetría \begin{equation*> G(x,y)=G(y,x),~x,y\in\Omega,~x\neq y donde $\Omega$ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^n$, y$G$ es la función de Green.

¿Respondió eso a tu pregunta? Ampliaré o aclararé cualquier cosa si lo deseas.