Simplificar

Question

En algún lugar en la respuesta proporcionada:

PS

¿Cómo consiguieron eso? Lo que tengo:

PS

PS

Entonces, tengo un$$\int \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} dx = \sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ extra ... Probablemente tuve algunos errores estúpidos?

Answer 1

Cometiste un error en el último paso. Para ver por qué, vamos a$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$,$du = \frac{dx}{\sqrt{2}}$.

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sqrt{2}du}{\sqrt{1-u^2}} \\ &= \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} \\ &= \arcsin{u} + c \\ &= \arcsin\left({\frac{x}{\sqrt{2}}}\right) + c \end{align*}

Básicamente, hizo una sustitución de variable implícita, pero olvidó que$dx$ también cambia cuando cambia la variable.

Answer 2

PS

PS

o, haciéndolo de otra manera

PS

ahora puesto, t =$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a}$

PS

Answer 3

Voy a usar una sustitución$u$ para aclarar por qué este es el caso. Deje$x = \sqrt{2}\sin \theta$ para$dx = \sqrt{2} \cos \theta d\theta $. Tenemos que \begin{eqnarray} \int \dfrac{dx}{\sqrt{2-x^2}} &=& \int\dfrac{\sqrt{2}\cos \theta d\theta}{\sqrt{2 - (\sqrt{2}\sin \theta)^2}} \\ &=& \int\dfrac{\sqrt{2}\cos \theta d\theta}{\sqrt{2 - (\sqrt{2}\sin \theta)^2}} \\ &=& \int\dfrac{\sqrt{2}\cos \theta d\theta}{\sqrt{2 - 2\sin^2 \theta}}\\ &=& \int\dfrac{\cos \theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \\ &=& \int\dfrac{\cos \theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} \\ &=& \int\dfrac{\cos \theta d\theta}{cos\theta} \\ &=& \int d\theta = \theta+C. \end {eqnarray}

Dado que$x = \sqrt{2}\sin \theta$, tenemos$\sin \theta = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$ y entonces$\theta = \sin^{-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$. Por lo tanto, $$ \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {2-x ^ 2}} = \ theta + C = \ sin ^ {- 1} \ left (\ dfrac {x} {\ sqrt {2}} \ derecha) + C. $$