$x_{n+1}=x_n^2-2$, Mostrar $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{x_0x_1\cdots x_{n-1}}=2$

Question

Supongamos que $x_0:=2\sqrt{2}$ y $x_{n+1}=x_n^2-2$ $n\ge1$.

Tenemos que mostrar %#% $ #%

Establecer convergencia es bastante directo pero estoy teniendo problemas para evaluar el límite. He probado usando el % de relación $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{x_0x_1\cdots x_{n-1}}=2$pero realmente no arrojan luz sobre el valor exacto del límite.

Toda ayuda apreciada. ¡ Gracias!

Answer 1

Nota primero que $x_n\geq1$ por cada $n$. Así podemos definir a $t_n$ por la fórmula $$t_n=\cosh^{-1}\left(\dfrac{x_n}{2}\right)=\ln\left(\frac{x_n+\sqrt{x_n^2-4}}{2}\right)$$ De modo que $x_n=2\cosh(t_n)$. De ello se sigue que $$ 2\cosh(2t_{n+1})=x_{n+1}=4\cosh^2(t_n)-2=2 \cosh(2t_n). $$ Por lo tanto $t_{n+1}=2t_n$. De ello se desprende que $t_n=2^n t_0$, y, en consecuencia, $$x_n=2\cosh(2^nt_0)=\frac{\sinh(2^{n+1}t_0)}{\sinh(2^{n}t_0)} \quad\hbox{for every $n\geq0$},$$ De ello se sigue que $$x_0x_1\cdots x_{n-1}=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\sinh(2^{k+1}t_0)}{\sinh(2^{k}t_0)} =\frac{\sinh(2^{n}t_0)}{\sinh(t_0)}, $$ y, finalmente, $$\frac{x_n}{x_0x_1\cdots x_{n-1}}=\frac{2\sinh(t_0)\cosh(2^{n}t_0)}{\sinh(2^nt_0)}.$$ Así $$ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{x_0x_1\cdots x_{n-1}}=2\sinh(t_0)=2. $$ ya que de $\cosh(t_0)=\sqrt{2}$, obtenemos $\sinh(t_0)=1$.

Answer 2

Tenemos la recurrencia de dos variables, $y_0 = 1, y_1 = x_0,$ $$ x_{n+1} = x_n^2 - 2, \; \; \; y_{n+1} = x_n y_n. $$

Por Lo $$ x_0^2 - (x_0^2 - 4)y_0^2 = 4. $$ De Inducción, $$ x_{n+1}^2 - (x_0^2 - 4) y_{n+1}^2 = (x_n^2 - 2)^2 - (x_0^2 - 4)(x_n y_n)^2 $$ $$ = x_n^4 - 4 x_n^2 + 4 - (x_0^2 - 4) x_n^2 y_n^2 $$ $$ = x_n^4 - (x_0^2 - 4) x_n^2 y_n^2 - 4 x_n^2 + 4 $$ $$ = x_n^2 (x_n^2 -(x_0^2 - 4) y_n^2 ) - 4 x_n^2 + 4 $$ $$ x_n^2 \cdot 4 - 4 x_n^2 + 4 = 4. $$ Así, siempre tenemos $$ x_n^2 - (x_0^2 - 4)y_n^2 = 4, $$ y $$ \frac{x_n}{y_n} \rightarrow \sqrt{x_0^2 - 4}, $$ como $$ \frac{x_n}{y_n} = \; \; \; \sqrt {x_0^2 - 4} \; \; \; \; + \; \frac{4}{y_n (x_n + y_n \sqrt {x_0^2 - 4})}. $$

Tenga en cuenta que la secuencia de $x_n$ es precisamente el tipo de secuencia utilizada en el de Lucas-Lehmer Primalidad de prueba, excepto con semilla $x_0 = \sqrt 8$, en lugar de que $s_0 = 4.$ Con cualquier semilla, la técnica en el artículo de la wikipedia basta con dar una forma cerrada de expresión para$x_n.$, de Modo que inicialmente se le preguntó sobre el origen del problema, que tiene un número teoría aspecto. Espero que seríamos incapaces de encontrar la forma cerrada si cambiamos a $x_{n+1} = x_n^2 - 3,$ por ejemplo.

Answer 3

Pista 1: Tenga en cuenta que $$ 2\cosh (2t) = 4\cosh ^ 2 (t) -2 cumple con x_n=2\cosh(2^nt_0) $$ $$ $$ por lo tanto, la repetición

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Sugerencia 2: Desde $$ \sinh(2x) = \sinh (x) \ 2\cosh(x) $$ inductivo obtenemos que $$ \sinh (t_0) \ 2\cosh (t_0) \ 2\cosh(2t_0)\dots2\cosh(2^{n-1}t_0)=\sinh(2^nt_0) $$

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Acabar con $$ \lim_{n\to\infty}\coth(2^nt_0) = $$ $t_0\gt0$ 1 y $$ 2\sinh\left (\left(\frac{x_0}{2}\right)\right \cosh^-{1}) = \sqrt {x_0 ^ 2-4} $$