Condición para las ecuaciones de $n$ $\mathbb P^n$ cortan puntos de máximas

Question

Que $\mathbb P^n$ ser el espacio proyectivo sobre $\mathbb C$, y que $F_i$ ser ecuaciones polinómicas homogéneas de los $n$ ${\rm deg} F_i=d_i$.

Mi pregunta es:

¿Cuál es la condición correcta para el número de soluciones es $\Pi d_i$?

Al principio que tenemos que poner algunas condiciones al entorno la intersección es de dimensión cero (supongo que es $F_i$ siendo una secuencia regular?). Pero esta condición no parece suficiente para asegurar que el número es $\Pi d_i$.

Answer 1

El cero locus de casi todas las selecciones de dichas tuplas $(F_1,\ldots,F_n)$ tiene dimensión cero y consisten exactamente $\prod_{i=1}^n d_i$ puntos.

Ahora, de hecho, existe un único polinomio en los coeficientes de estas $n$ polinomios cuyo ajuste a cero es exactamente el conjunto de puntos donde la genérica de los bienes falla: se llama Macaulay de la resultante y es una generalización de la conocida resultante. Con $d:=(d_1,\ldots,d_n)$$R:=\operatorname{Res}_d$, usted tendrá exactamente $\prod_{i=1}^n d_i$ muchas soluciones al sistema de ecuaciones si y sólo si $R(F_1,\ldots,F_n)\ne 0$.

Este polinomio no es precisamente fácil de escribir. Hay un montón de literatura sobre el tema, uno que puedo recomendar es el Capítulo 3 de este libro:

David R. Cox, John Little, Donal Oseas - El Uso De La Geometría Algebraica

Hay también este papel en el arXiv que suena interesante, pero no he leído: https://arxiv.org/pdf/math/0007036.pdf