Convergencia de$\lbrace \sin( \frac{1}{n}) \rbrace $

Question

Creo que la secuencia$\lbrace \sin( \frac{1}{n}) \rbrace $ converge a cero. ¿Puede alguien dar una prueba episilon-delta de este hecho?

Answer 1

Tenemos $$ \forall x \in \mathbb{R} : x \geq 0 : \sin(x) \leq x$$ Tenga en cuenta que $\forall n \in \mathbb{N} : \pi > 1 \geq \frac{1}{n} \geq 0$. Por lo tanto la combinación de los dos resultados que hemos $$ \forall n \in \mathbb{N} : 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right) \leq \frac{1}{n} \implies \left| \sin\left(\frac{1}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n}$$ Ahora, para el epsilon-delta. Deje $\varepsilon > 0$ ser arbitraria. Elija $N > \frac{1}{\varepsilon}$ $$ \forall n \geq N : \left| \sin\left(\frac{1}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon$$

Tenga en cuenta que la primera desigualdad es considerada como la "aproximación de ángulo pequeño". Puede ser derivada geométricamente, o mediante el valor medio teorema de la función definida por $f(x) = \sin(x) - x$.

Después de leer los comentarios sobre la pregunta también me gusta el método utilizado por el usuario hcl14! Tenga en cuenta que la derivada de $\sin(x)$ está delimitado por $1$ y, por tanto, la función seno es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $L = 1$. Esto implica que $$\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \sin(0)\right| \leq \left|\frac{1}{x} - 0\right| \iff \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| < \frac{1}{x}$$

Answer 2

Por el teorema del valor medio,

$$\left|\sin\left(\frac1n\right)-\sin0\right|=|\cos\xi|\cdot\left|\frac1n-0\right|\leq\frac1n$ $ para algunos$\xi\in[0,\frac1n]$. Entonces para$n>\delta:=\frac1\epsilon$ tenemos$|\sin\frac1n|<\epsilon$.