Existencia de medidas de probabilidad estrictamente positiva

Question

Que $X$ ser un Hausdorff espacio (o incluso Supongamos es metrizable). Una medida estrictamente positiva en $X$ es la que da medida positiva para cualquier subconjunto abierto no vacío de $X$. ¿Nosotros podemos asegurar la medida de la existencia de una probabilidad estrictamente positiva (o equivalente $X$-finito) bajo que condición en $\sigma$? ¿Existe un tipo de forma constructiva para construir esta medida si se cumple la condición de existencia?

Answer 1

Creo que una caracterización completa puede ser difícil, así que he recogido algunos postitive y los resultados negativos que deben cubrir la mayoría de los casos prácticos.

1. Cualquier topológicos compactos grupo tiene un número finito de medida de Haar. Si el grupo es Hausdorff y del infinito, que esta medida es atomless. Esto es aplicable por ejemplo, el Cantor de espacio, que puede ser interpretado como el producto de $\aleph_0$ copias de el grupo con dos elementos.

2. Si $X$ $Y$ son espacios de Hausdorff y $f: X \to Y$ es continua, a continuación, para cualquier medida de Borel $\mu$$X$, una medida de Borel $\nu$ $Y$ puede ser definido por $\nu(A) = \mu(f^{-1}[A])$ siempre $f^{-1}[A]$ es $\mu$-medible. Claramente $\nu(Y) = \mu(X)$, por lo tanto, si $\mu$ es un la probabilidad de medir, por lo que es $\nu$.

   una. Si $\mu$ es estrictamente positiva y $f[X]$ es denso en $Y$, $\nu$ es estrictamente positivo. PhoemueX la respuesta puede ser visto como una aplicación de este donde $\mu$ es una medida geométrica en $\mathbb{N}$ $f$ es un la enumeración de un subconjunto denso.

   b. Si $\mu$ es atomless y $f$ es inyectiva, entonces $\nu$ es atomless.

3. Si $\mu$ es un atomless estrictamente positivo Borel probabilidad de medida en un espacio de Hausdorff $X$, a continuación, para cada contables $A \subset X$ tenemos $\mu(A) = 0$ y el restricción de $\mu$ $X\setminus A$es también un atomless estrictamente positivo Borel probabilidad de medir. Esto se aplica en particular cuando $X = \mathbb{R}, A = \mathbb{Q}$.

4. Cada polaco espacio sin puntos aislados tiene un subespacio denso homeomórficos a $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. (véase, por ejemplo, el ejercicio 6.2.(E) en Engelking de la topología General) Por 2. y 3. cualquier densa de la incrustación de la irrationals en un espacio que puede ser utilizado para la transferencia de un arbitrario atomless estrictamente positivo Borel probabilidad de medida de los reales para el objetivo del espacio.

   El mismo principio puede ser utilizado para la transferencia de medida de Lebesgue, pero la la captura en ese caso es que la inducida por la medida no puede ser localmente finito.

En el lado negativo tenemos:

5. Si la topología de $Y$ contiene un sinnúmero de familia de pares distintos no vacío abrir establece, claramente puede no ser $\sigma$-finito estrictamente medida positiva en $Y$. Esto se aplica en particular si $Y$ es un no separables espacio metrizable. (véase, por ejemplo, el Teorema de 4.1.15 en Engelking de la Topología General)
6. Un valor distinto de cero medir en una contables conjunto es atómico, ya que por cada punto de hay una pequeña medibles conjunto que lo contiene. En consecuencia, si un espacio contiene un vacío contables conjunto abierto, no admite una estrictamente positivo atomless medida.

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Como parte de los ejercicios mencionados en el 4. no viene con una referencia, yo le dará un esbozo de cómo puede ser reducido a la parte (a), que hace.

Para cada espacio métrico separable $X$ y cada una de las $i \in \mathbb{Z}^+$ hay una contables de la familia de pares distintos abrir conjuntos de $\{U_{ij}\}_{j=1}^{\infty}$ tal que $\delta(U_{ij}) \le 2^{-i}$ $\bigcup_{j=1}^\infty U_{ij}$ es denso en $X$.

Por la categoría de Baire teorema, si $X$ es completa tenemos que $Y = \bigcap_{i=1}^\infty \bigcup_{j=1}^\infty U_{ij}$ es denso en $X$. Entonces, si $X$ no tiene puntos aislados, ni ha $Y$. Es fácil mostrar que $\{ U_{ij} \cap Y \mid i, j \in \mathbb{Z}^+ \}$ es una base para la topología de $Y$ y que todos estos conjuntos son clopen en $Y$, lo $Y$ es cero-dimensional. Por construcción $Y$$G_\delta$$X$, por lo tanto es completamente metrizable. Si quitamos a un contable subconjunto denso de $Y$ obtener $Z$, $Z$ como un subconjunto de a $Y$ satisface la hipótesis de la parte (a) y por lo tanto homeomórficos a la irrationals.

Una construcción directa de una medida adecuada puede ir a lo largo de líneas similares. Si $\{U_{ij}\}$ está construido de tal manera que por cada $j$ y cada $m < n$ no es un porcentaje ($k$tal que $U_{nj} \subset U_{mk}$, es posible para asignar un número positivo a cada una de las $U_{ij}$ de tal manera que los contables aditividad satisfecha. Esta tarea puede ser extendida a una estricta medida positiva, y al requerir que cada punto está contenida en los conjuntos de arbitrariamente pequeña medida, se puede garantizar que el resultado de la medir es atomless.

Answer 2

Si existe un subconjunto denso contable ${x_n \mid n \in \Bbb{N}}$, podemos definir $\mu =\sumn 2^{-n} \delta{xn}$,$\delta{x_n}$Dónde está la medida de dirac (punto masa) en$x_n$.

Como cada conjunto abierto contiene un $x_n$, esto hace lo que quiere.