¿Cómo puedo encontrar la serie de energía de $f(x)$?

Question

$$f(x)=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x^2}{1+\dfrac{x^3}{1+\dfrac{x^4}{\ddots}}}}}$$

¿Cómo se puede encontrar una serie de energía teniendo en cuenta el % de fracción continua $f(x)$?

Estoy tratando de encontrar $f(x) =1+a_1x+\dfrac{a_2x^2}{2!}+\dfrac{a_3x^3}{3!}+\dfrac{a_4x^4}{4!}+\cdots$

He intentado algunas maneras para definir $f(x)$ pero no pude encontrar el patern general. Va a patern complejo después de $n=3$ en mi enfoque. Creo que necesito otro enfoque al problema.

$$\begin{align} &f_1(x)=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots\ &f_2(x)=\frac{1}{1+\frac{x}{1+x^2}}=\frac{1+x^2}{1+x+x^2}\ &f3(x)=\frac{1}{1+\frac{x}{1+\frac{x^2}{1+x^3}}}=\frac{1+x^2+x^3}{1+x+x^2+x^3+x^4}\ &\lim{n\to \infty} {f_n(x)}=f(x) \end {Alinee el} $$

¿Por favor me podriais dar mano sobre cómo encontrar el patern de esta función?

Answer 1

Buscas el recíproco de la fracción de Rogers-Ramanujan continuóde clásico. Un listado de algunos de los coeficientes de la serie de energía se puede encontrar aquí: OEIS. Puede encontrar más referencias allí.