El espacio de homeomorfismos del intervalo unitario cerrado

Question

Denote por $X$ el espacio de homeomorfismos del intervalo unitario $[0,1]$ equipado con la topología de convergencia uniforme. Es un ejercicio en un libro de texto que estoy leyendo para demostrar que $$X \cong \{ 0, 1 \} \times [0,1]^{\omega}.$$ El progreso que he hecho en esto hasta ahora es notar que los homeomorfismos $f: [0,1] \to [0,1]$ son crecientes o decrecientes, por lo que debería darse el caso de que $f(0) = 0$ o $f(0) = 1$ . Creo que esto divide el espacio en dos componentes conectados, como sugiere el factor $\{ 0, 1 \}$ . ¿Alguien puede dar más consejos sobre cómo establecer el isomorfismo? Mi único instinto para el factor restante $[0,1]^\omega$ es que las funciones continuas sobre $[0,1]$ están determinados por sus valores en un conjunto denso contable, pero no veo cómo esto llevaría a un mapa bicontinuo.

Answer 1

No es verdad. El espacio $\{0,1\} \times [0,1]^\omega$ es compacto, pero el espacio de homeomorfismos de $[0,1]$ no es compacta en la topología de convergencia uniforme.

Para $n \geqslant 2$ , dejemos que

$$f_n(x) = \begin{cases}\qquad (2 - 2^{-n})x &, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{4} \\ \quad\frac{1}{2} + 2^{-n}\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr) &, \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4} \\ 1 - (2-2^{-n})(1-x) &, \frac{3}{4} \leqslant x \leqslant 1.\end{cases}$$

Entonces $f_n$ es un homeomorfismo de $[0,1]$ pero $(f_n)_{n\geqslant 2}$ converge uniformemente a

$$f(x) = \begin{cases} 2x &, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} &, \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4}\\ 2x-1 &, \frac{3}{4} \leqslant x \leqslant 1\end{cases}$$

que no es un homeomorfismo.

Answer 2

Creo que es cierto que $X\cong \{0,1\}\times(0,1)^\omega$ y el siguiente es un homeomorfismo explícito. Como se observa, podemos dividir $X$ en dos trozos según la orientación, por lo que basta con producir un homeomorfismo $Y\to (0,1)^\omega$ donde $Y$ es el espacio de los homeomorfismos crecientes. Dado un homeomorfismo creciente $f:[0,1]\to[0,1]$ definir una secuencia $(r_n)\in(0,1)^\omega$ inductivamente como sigue. Primero, $r_0=f(1/2)$ . Inductivamente, supongamos que hemos definido $r_0,\dots,r_{n-1}$ y en el proceso hemos utilizado el valor de $f$ en $n$ diferentes puntos. Estos $n$ puntos (y sus imágenes en $f$ ) dividen el dominio y el rango de $f$ cada uno en $n+1$ subintervalos; digamos que el dominio se divide en $I_0,\dots,I_n$ y la gama se divide en $J_0,\dots,J_n$ (con estos subintervalos enumerados en orden creciente). En este punto tenemos dos opciones. La primera es definir $r_{n+i}$ ( $i=0,\dots,n$ ) sea la imagen del punto medio de $I_i$ en $f$ reescalada mediante la identificación lineal $J_i$ con $(0,1)$ . La segunda opción es definir $r_{n+i}$ sea la imagen del punto medio de $J_i$ en $f^{-1}$ reescalada mediante la identificación lineal $I_i$ con $(0,1)$ .

Utilice este procedimiento para definir inductivamente una secuencia $(r_n)$ alternando entre las dos opciones (es un buen ejercicio averiguar por qué esta construcción no daría una biyección si siempre se eligiera la primera opción). No es muy difícil ver que se trata de una biyección y, de hecho, de un homeomorfismo de $Y$ a $(0,1)^\omega$ . Para construir la inversa, obsérvese que invirtiendo el procedimiento partiendo de cualquier $(r_n)$ dará lugar a dos subconjuntos densos contables de $(0,1)$ y una biyección preservadora del orden entre ellas, y esta biyección se extenderá unívocamente a una biyección preservadora del orden $[0,1]\to[0,1]$ .